Devoir

Essayez de bien rédiger vos réponses, sans vous reporter ni au cours, ni au corrigé. Si vous souhaitez vous évaluer, donnez-vous deux heures ; puis comparez vos réponses avec le corrigé.






Question de cours : Soit $ \gamma:I\subset \mathbb{R}\to\mathbb{R}^3$ une courbe paramétrée de classe $ C^3$, dont tous les points sont biréguliés.



Exercice 1   Montrer que les courbes planes régulières de classe $ C^2$ à courbure constante sont des arcs de cercle.
(On pourra considérer les paramétrisations par abscisse curviligne et montrer que le centre de courbure est constant.)

Exercice 2   Soient $ R$ et $ a$ deux nombres réels. On considère la courbe paramétrée suivante :

$\displaystyle \begin{array}{rrll}
\gamma :& \mathbb{R}&\to & \mathbb{R}^3\\
& t &\mapsto & \left( R\cos t,R\sin t, at \right)\\
\end{array}$

  1. Que représente géométriquement cette courbe ?
  2. Déterminer une paramétrisation par abscisse curviligne.
  3. Calculer le repère de Serret-Frenet.
  4. Calculer la courbure $ \kappa_a$ de $ \gamma$ en tout point. Que remarquez-vous ?
  5. Calculer la torsion $ \tau_a$ de $ \gamma$ en tout point ? Que remarquez-vous ?
  6. Calculer les limites

    $\displaystyle \lim_{a\to 0} \kappa_a$   et$\displaystyle \quad
\lim_{a\to 0} \tau_a
$

    Pouvait-on s'attendre à ce résultat ?

Exercice 3   On prend deux nombres réels $ 0<r<R$. On considère le tore de révolution $ f:[0,2\pi[\times [0,2\pi[\to\mathbb{R}^3$ paramétré par

\begin{displaymath}
f(u,v) = \left(
\begin{array}{c}
(R+r\cos u)\cos v\\
(R+r\cos u)\sin v\\
r\sin u
\end{array}\right).
\end{displaymath}

  1. Représenter cette surface en $ 3D$. Pourquoi, à votre avis, cette surface est-elle dite "de révolution" ?
  2. Calculer l'aire de cette surface.
  3. Que représentent géométriquement les courbes $ \mathcal{C}_1 = \{f(0,v), v\in [0,2\pi[\}$ et $ \mathcal{C}_2 = \{f(u,0), u\in [0,2\pi[\}$ ?
  4. Montrer que les vecteurs tangents à ces courbes au point d'intersection $ m=f(0,0)$ sont orthogonaux.
  5. Calculer en tout point $ m$ de la surface la deuxième forme fondamentale $ II_m$, ainsi que les courbures et directions principales.
  6. En tout point $ m=f(u,v)$ de la surface, calculer le produit $ G_m$ des deux courbures principales.
    • Déterminer les points $ m$ pour lesquels $ G_m >0$
    • Déterminer les points $ m$ pour lesquels $ G_m <0$
    • Déterminer les points $ m$ pour lesquels $ G_m =0$
  7. Interpréter géométriquement ces résultats.


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