Applications des fractions rationnelles

De nombreux calculs d'intégrales se ramènent, après un ou plusieurs changements de variable, à un calcul de primitive de fraction rationnelle. Nous allons distinguer 4 types principaux, et donner pour chacun un exemple. La fonction à intégrer est notée $f$. Nous supposons comme d'habitude que $f$ est définie et continue sur l'intervalle d'intégration, et que les changements de variable proposés peuvent effectivement être appliqués. $\bullet$ Type 1 : $f$ est une fraction rationnelle en $\mathrm{e}^t$, $\cosh(t)$, $\sinh(t)$ :

Changement de variable $u=\mathrm{e}^t$.

Exemple :

$$I=\int_1^2 \frac{1}{\sinh(t)} \mathrm{d}t = \int_1^2 \frac{2}{\mathrm{e}^t-\mathrm{e}^{-t}} \mathrm{d}t\;.$$

Posons :

$$u=\mathrm{e}^t$$   soit$$\quad t=\ln(u)$$   et$$\quad \mathrm{d}t = \frac{1}{u}\mathrm{d}u\;.$$

$$I = \int_\mathrm{e}^{\mathrm{e}^2} \frac{2}{u-\frac{1}{u}} \frac{1}{u}\mathrm{d}u =\int_\mathrm{e}^{\mathrm{e}^2} \frac{2}{u^2-1} \mathrm{d}u$$

$$= \int_\mathrm{e}^{\mathrm{e}^2} \frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1} \mathrm{d}u =\Big[\ln\vert u-1\vert-\ln\vert u+1\vert\Big]_\mathrm{e}^{\mathrm{e}^2}$$

$$= \ln\frac{\mathrm{e}^2-1}{\mathrm{e}^2+1} - \ln\frac{\mathrm{e}-1}{\mathrm{e}+1} = \ln\frac{(\mathrm{e}+1)^2}{\mathrm{e}^2+1}\;.$$

$\bullet$ Type 2 : $f$ est une fraction rationnelle en $\cos(t)$, $\sin(t)$, $\tan(t)$ :

Changement de variable $u=\tan(t/2)$.

En effet, si $u=\tan(t/2)$, alors :

$$\cos(t) = \frac{1-u^2}{1+u^2}\;,\quad \sin(t) = \frac{2u}{1+u^2}\... ...\tan(t) = \frac{2u}{1-u^2}\;,\quad \mathrm{d}t = \frac{2}{1+u^2}\mathrm{d}u\;.$$

Exemple :

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\cos(t)} \mathrm{d}t = \in... ...+u^2}} \frac{2}{1+u^2}\mathrm{d}u = \int_0^1 \frac {2}{3+u^2} \mathrm{d}u\;.$$

Pour intégrer cette fraction rationnelle, il faut effectuer un nouveau changement de variable :

$$v=\frac{u}{\sqrt{3}}$$   soit$$\quad u=\sqrt{3}v$$   et$$\quad \mathrm{d}u = \sqrt{3}\mathrm{d}v\;.$$

$$I = \frac{2\sqrt{3}}{3}\int_0^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\frac{1}{1+v^2}... ...c{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\;.$$

Le changement de variable $u=\tan(t/2)$ présente l'inconvénient de conduire à des fractions parfois assez compliquées. On peut faire plus simple dans certains cas.
$\bullet$ Si $f$ est un polynôme en $\cos(t)$ et $\sin(t)$ : linéariser.
$\bullet$ Si $f(t) \mathrm{d}t$ reste inchangé quand on remplace $t$ par $-t$ : poser $u=\cos(t)$.
$\bullet$ Si $f(t) \mathrm{d}t$ reste inchangé quand on remplace $t$ par $\pi-t$ : poser $u=\sin(t)$.
$\bullet$ Si $f(t) \mathrm{d}t$ reste inchangé quand on remplace $t$ par $\pi+t$ : poser $u=\tan(t)$. À titre d'exemple, examinons l'effet de 4 changements de variable possibles pour calculer :

$$I(x) = \int_c^x \tan(t) \mathrm{d}t = -\ln\vert\cos(x)\vert+C\;.$$

$$u=\tan\frac{t}{2} \longrightarrow {\displaystyle I(x) = \int_{\tan(c/2)}^{\tan(x/2)} \frac{4u}{1-u^4} \mathrm{d}u}$$

$$u=\cos(t) \longrightarrow {\displaystyle I(x) = \int_{\cos(c)}^{\cos(x)} -\frac{1}{u} \mathrm{d}u}$$

$$u=\sin(t) \longrightarrow {\displaystyle I(x) = \int_{\sin(c)}^{\sin(x)} \frac{u}{1-u^2} \mathrm{d}u}$$

$$u=\tan(t) \longrightarrow {\displaystyle I(x) = \int_{\tan(c)}^{\tan(x)}\frac{u}{1+u^2} \mathrm{d}u}\;.$$

Evidemment, les 4 changements de variable conduisent au même résultat final, mais certains sont plus simples... $\bullet$ Type 3 : $f$ est une fraction rationnelle en $t$ et $(\frac{at+b}{ct+d})^{\frac{1}{m}}$ :

Changement de variable $u=(\frac{at+b}{ct+d})^{\frac{1}{m}}$.

Exemple :

$$I = \int_c^x \frac{1}{\sqrt{1+t}+\sqrt[3]{1+t}} \mathrm{d}t\;.$$

Effectuons le changement de variable :

$$u=\sqrt[6]{1+t}$$   soit$$\quad t=u^6-1$$   et$$\quad \mathrm{d}t = 6u^5 \mathrm{d}u\;.$$

$$I = \int_{\sqrt[6]{1+c}}^{\sqrt[6]{1+x}}\frac{6u^5}{u^3+u^2} \mathrm{d}u =\int_{\sqrt[6]{1+c}}^{\sqrt[6]{1+x}}\frac{6u^3}{u+1} \mathrm{d}u$$

$$= 6\int_{\sqrt[6]{1+c}}^{\sqrt[6]{1+x}}u^2-u+1-\frac{1}{u+1} \mathrm{d}u$$

$$= 6\Big[\frac{u^3}{3}-\frac{u^2}{2}+u-\ln\vert u+1\vert \Big]_{\sqrt[6]{1+c}}^{\sqrt[6]{1+x}}\;.$$

$\bullet$ Type 4 : $f$ est une fraction rationnelle en $t$ et $\sqrt{at^2+bt+c}$ :

Changement de variable $u=\sqrt{\frac{4a^2}{\vert b^2-4ac\vert}}(t+\frac{b}{2a})$.

Il est déconseillé de retenir par cur ce changement de variable. L'idée est de mettre d'abord le trinôme sous forme canonique, puis d'effectuer le changement de variable adéquat pour se ramener à l'une des trois formes $\sqrt{u^2 +1}$, $\sqrt{u^2 -1}$ ou $\sqrt{1-u^2}$. Nous avons déjà vu un exemple pour chacun des 3 cas. Une fois ce changement de variable affine effectué, il reste une fraction rationnelle en $u$ et $\sqrt{u^2 +1}$ ou bien $\sqrt{u^2 -1}$ ou bien $\sqrt{1-u^2}$. Il faut effectuer alors un nouveau changement de variable pour se ramener à une intégrale du type 1 ou 2.

1. fraction rationnelle en $u$ et $\sqrt{u^2 +1}$ : changement de variable $u=\sinh(v)$.
2. fraction rationnelle en $u$ et $\sqrt{u^2 -1}$ : changement de variable $u=\cosh(v)$.
3. fraction rationnelle en $u$ et $\sqrt{1-u^2}$ : changement de variable $u=\sin(v)$.

Exemple :

$$I = \int_0^1\frac{t^2}{\left(\sqrt{t^2+3t+2}\right)^3} \mathrm{d... ...rac{t^2} {\left(\sqrt{(t+\frac{3}{2})^2-\frac{1}{4}}\right)^3} \mathrm{d}t\;.$$

Effectuons le changement de variable :

$$u=2t+3$$   soit$$\quad t=\frac{1}{2}(u-3)$$   et$$\quad \mathrm{d}t=\frac{1}{2}\mathrm{d}u\;.$$

$$I = \int_3^5 \frac{\frac{1}{4}(u-3)^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^3... ...hrm{d}u = \int_3^5\frac{(u-3)^2}{\left(\sqrt{u^2-1}\right)^3} \mathrm{d}u\;.$$

Nous devons alors remplacer $u$ par $\cosh(v)$ (donc $\mathrm{d}u$ par $\sinh(v) \mathrm{d}v$).

$$I=\int_{\ln( 3+\sqrt{8})}^{\ln(5+\sqrt{24})} \frac{(\cosh(v)-3)^2... ...rt{8})}^{\ln(5+\sqrt{24})} \frac{(\cosh(v)-3)^2}{(\sinh(v))^2} \mathrm{d}v\;.$$

On exprime alors $\cosh(v)$ et $\sinh(v)$ en fonction de $\mathrm{e}^v$ :

$$I=\int_{\ln( 3+\sqrt{8})}^{\ln(5+\sqrt{24})} \frac{(\frac{\mathrm... ...ac{(\mathrm{e}^{2v}-6\mathrm{e}^v+1)^2}{(\mathrm{e}^{2v}-1)^2} \mathrm{d}v\;.$$

C'est une intégrale du type 1 : le changement de variable $w=\mathrm{e}^v$ nous ramène à une fraction rationnelle.

$$I = \int_{3+\sqrt{8}}^{5+\sqrt{24}} \frac{(w^2-6w+1)^2}{(w^2-1)^2} \frac{1}{w} \mathrm{d}w$$

$$= \int_{3+\sqrt{8}}^{5+\sqrt{24}}\frac{1}{w}+\frac{4}{(w-1)^2} -\frac{16}{(w+1)^2} \mathrm{d}w$$

$$= \Big[\ln\vert w\vert-\frac{4}{w-1}+\frac{16}{w+1}\Big]_{3+\sqrt{8}}^{5+\sqrt{24}}\;.$$