QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    
\framebox{A}
Il existe des primitives de $ x\mapsto\sin(\frac{1}{x})$ définies sur l'intervalle $ [-1,1]$.
\framebox{B}
Il existe des primitives de $ x\mapsto\sin(\sqrt{\vert x\vert})$ définies sur l'intervalle $ [-1,1]$.
\framebox{C}
Il existe des primitives de $ x\mapsto \displaystyle{\frac{1}{\sin(x)}}$ définies sur l'intervalle $ [-1,1]$.
\framebox{D}
L'intégrale de $ x\mapsto x\sin^2(x)$ sur $ [-\pi,\pi]$ est nulle.
\framebox{E}
L'intégrale de $ x\mapsto x\sin(x)$ sur $ [-\pi,\pi]$ est nulle.

Question 2   On note $ f$ la fonction $ f$ qui à $ t\in \mathbb{R}$ associe $ f(t)=\vert t\vert$. Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, on pose $ g(x)=\displaystyle{\int_{-x}^{x}f(t) \mathrm{d}t}$.
\framebox{A}
La fonction $ g$ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
$ g(x)=2\displaystyle{\int_0^xf(t) \mathrm{d}t}$.
\framebox{C}
$ g(x)$ tend vers $ +\infty$ lorsque $ x$ tend vers $ +\infty$.
\framebox{D}
La fonction $ g$ est deux fois dérivable sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{E}
Si $ F$ est une primitive de $ f$, alors $ g(x)=2F(x)$.

Question 3    
\framebox{A}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \sin^6(x)$ est une combinaison linéaire de $ 1$, $ \cos(2x)$, $ \cos(4x)$ et $ \cos(6x)$.
\framebox{B}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \cos^6(x)$ est une combinaison linéaire de $ \cos(2x)$, $ \cos(4x)$ et $ \cos(6x)$.
\framebox{C}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \sin^4(x)\cos^4(x)$ est une combinaison linéaire de $ \cos(2x)$, $ \cos(4x)$ et $ \cos(6x)$.
\framebox{D}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \sin^5(x)$ est une combinaison linéaire de $ \sin(x)$, $ \sin(3x)$ et $ \sin(5x)$.
\framebox{E}
Pour tout $ x\in \mathbb{R}$, $ \sin^3(x)\cos^2(x)$ est une combinaison linéaire de $ \sin(x)$ et $ \sin(3x)$.

Question 4   Soit $ n$ un entier supérieur ou égal à $ 2$. On pose : $ I_n= \displaystyle{\int_0^1\big(t(1-t)\big)^n \mathrm{d}t}$.
\framebox{A}
$ I_n = \displaystyle{-\int_0^1 \frac{n}{n+1}t^{n-1}(1-t)^{n+1} \mathrm{d}t}$.
\framebox{B}
$ I_n = \displaystyle{\int_0^1 \frac{n}{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n-1} \mathrm{d}t}$.
\framebox{C}
$ I_n = 1-\displaystyle{\int_0^1 \frac{n}{n+1}t^{n+1}(1-t)^{n-1} \mathrm{d}t}$.
\framebox{D}
$ I_n = \displaystyle{\int_0^1 n(1-2t)\big(t(1-t)\big)^{n-1} \mathrm{d}t}$.
\framebox{E}
$ I_n = \displaystyle{\int_0^1 n(2t-1)t^{n}(1-t)^{n-1} \mathrm{d}t}$.

Question 5   On note $ f$ la fonction qui à $ t\in [1,2]$, associe $ f(t)=\sqrt{(t-1)(2-t)}$. On pose: $ I=\displaystyle{\int_1^2 f(t)dt}$.
\framebox{A}
Le changement de variable $ t\mapsto u=(t-1)(2-t)$ est bijectif sur $ [1,2]$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{I\leq \sup\{f(x) ,\;x\in[1,2]\}}$ .
\framebox{C}
Le changement de variable $ t\mapsto u=3-t$ donne $ \displaystyle{\int_1^2 tf(t) \mathrm{d}t=3I - \int_1^2 tf(t) \mathrm{d}t}$.
\framebox{D}
Le changement de variable $ t\mapsto v=2t-3$ donne $ \displaystyle{I=\frac{1}{2}\int_{-1}^1\sqrt{1-v^2} dv}$ .
\framebox{E}
$ f$ admet une primitive définie sur $ \mathbb{R}$.

Question 6   On note $ f$ la fonction qui à $ t\in \mathbb{R}$, associe $ \displaystyle{f(t)=\frac{t}{t^2+1}}$.
\framebox{A}
$ \displaystyle{\int_0^2f(t) \mathrm{d}t=\int_0^{\sqrt{2}}\frac{1}{1+u} \mathrm{d}u}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\int_0^2 f(t) \mathrm{d}t > \int_0^2 t \mathrm{d}t}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\int_0^2f(t) \mathrm{d}t=\ln(5)}$.
\framebox{D}
Soit $ g$ une fonction définie et continue sur $ [0,2]$ telle que $ \displaystyle{\int_0^2\vert g(t)\vert f(t) \mathrm{d}t=0}$. Alors pour tout $ t\in [0,2]$, $ g(t)=0$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\sum_{k=1}^{2n}\frac{k}{n^2+k^2}} $ tend vers $ \displaystyle{\int_0^2f(t) \mathrm{d}t}$ quand $ n$ tend vers l'infini.

Question 7   On note $ f$ la fonction qui à $ t\in \mathbb{R}$, associe $ \displaystyle{f(t)=\frac{1}{(t^2+4)^2}}$. On pose $ \displaystyle{I=\int_0^2f(t) \mathrm{d}t}$.
\framebox{A}
$ f$ possède une primitive définie sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
$ I=\displaystyle{\frac{1}{8}\left(\int_0^2\frac{1}{t^2+4}
 \mathrm{d}t+\left[\frac{t}{t^2+4}\right]_0^2
\right)}$ .
\framebox{C}
$ I> \frac{2}{4^2}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{I=\int_0^1\frac{1}{(1+u^2)^2} \mathrm{d}u}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{I=\int_0^{\mathrm{e}^2}\frac{1}{\mathrm{e}^v+4\mathrm{e}^{-v}} dv}$.

Question 8   On note $ f$ la fonction qui à $ t\in \mathbb{R}$, associe $ \displaystyle{f(t)=\frac{t^2+1}{(t+3)(t^2-4)}}$.
\framebox{A}
$ f$ a une primitive définie sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
La décomposition en éléments simples de $ f$ a la forme suivante:
$ \displaystyle{f(t)=\frac{A}{t+3}+\frac{B}{t+2}+\frac{C}{t-2}}$ .
\framebox{C}
Une primitive de $ f(t)$ est $ \ln(\vert(t+3)(t+2)^5(2-t)\vert).$
\framebox{D}
$ \displaystyle{\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t=
\int_0^{+\infty}\frac{e^{-3u}+e^{-u}}{(e^{-u}+3)(4-e^{-2u})} \mathrm{d}u}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\int_0^1 f(t) \mathrm{d}t=\int_0^{\frac{\pi}{2}}
\frac{(1+\cos^2(u))\sin(u)}{(3+\cos( u))(\cos^2( u)-4)} \mathrm{d}u}$.

Question 9   On note $ f$ la fonction qui à $ t\in \mathbb{R}$, associe $ \displaystyle{f(t)=\frac{1}{\mathrm{e}^{t}+\mathrm{e}^{-t}}}$.
\framebox{A}
$ f$ a une primitive définie sur $ \mathbb{R}$.
\framebox{B}
La fonction qui à $ x$ associe $ \ln(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x})$ est une primitive de $ f$.
\framebox{C}
Si $ F$ est une primitive de $ \displaystyle{\frac{1}{u+1/u}}$, alors $ F(\mathrm{e}^x)$ est une primitive de $ f$.
\framebox{D}
La fonction qui à $ x$ associe $ \pi/4-\arctan(\mathrm{e}^{-x})$ est une primitive de $ f$.
\framebox{E}
La primitive de $ f$ qui s'annule en 0 est $ x\mapsto \pi/4-\arctan(\mathrm{e}^{x})$.

Question 10   Soient $ a$ et $ b$ deux réels. On note $ f$ la fonction qui à $ t$ associe $ \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{at^2+b}}}$.
\framebox{A}
Si $ a$ et $ b$ sont strictement positifs, il existe une constante $ C$ telle que $ x\mapsto \arcsin(x\sqrt{a/b})$ soit une primitive de $ f$.
\framebox{B}
Si $ a$ et $ b$ sont strictement positifs, il existe une constante $ C$ telle que $ x\mapsto \sqrt{ax^2+b}$ soit une primitive de $ t\mapsto tf(t)$.
\framebox{C}
Si $ a$ est strictement négatif et $ b$ strictement positif, il existe une constante $ C$ telle que $ x\mapsto C\arcsin(x\sqrt{a/b})$ soit une primitive de $ f$.
\framebox{D}
Si $ a$ est strictement positif et $ b$ strictement négatif, il existe une constante $ C$ telle que $ x\mapsto C\arcsin(\sqrt{-ax/b})$ soit une primitive de $ f$.
\framebox{E}
$ f$ admet une primitive définie sur $ \mathbb{R}$ si et seulement si $ a$ et $ b$ sont de même signe.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-BD 2-BC 3-AD 4-BE 5-BC 6-DE 7-AB 8-BC 9-AD 10-BC}}

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