Hyperbole rapportée à ses asymptotes

L'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ dans un repère orthonormal $\mathcal R=(O,\vec{i},\vec{j})$ admet comme asymptotes les droites d'équations $y=\pm\dfrac{b}{a} x$.

Son équation s'écrit encore

$$\left(\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}\right) \left(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}\right)=1\, ,$$

soit, en posant $X=\dfrac{x}{a}-\dfrac{y}{b}$ et $Y=\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}$:

$$XY=1 \, .$$

Mais les relations

$$\begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{a}&-... ...}{b}\\ \dfrac{1}{a}&\dfrac{1}{b}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}$$

d'où

$$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix}a & a\\ -b & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}X\\ Y\end{pmatrix}$$

montrent que $X$ et $Y$ sont les coordonnées dans le repère (non orthonormé) $\mathcal R'=(O,\dfrac{a}{2}\vec{i}-\dfrac{b}{2}\vec{j}, \dfrac{a}{2}\vec{i}+\dfrac{b}{2}\vec{j})$ du point de coordonnées $(x,y)$ dans le repère $\mathcal R$. L'équation $XY=1$ est donc celle de l'hyperbole dans ce repère $\mathcal R'$ porté par les asymptotes.

Proposition 9   Pour toute hyperbole $H$, il existe un repère cartésien porté par les asymptotes de $H$ dans lequel l'équation de $H$ est $XY=1$.

Plus généralement, une hyperbole admet, dans tout repère cartésien porté par ses asymptotes, une équation de la forme $XY=k$, pour un réel $k$ non nul.

Un tel repère n'est en général pas orthogonal. Il l'est si et seulement si l'hyperbole est équilatère.

Définition 3   Une hyperbole est dite équilatère si ses asymptotes sont perpendiculaires.

Proposition 10   Une hyperbole est équilatère si et seulement si son excentricité est égale à $\sqrt 2$.

Démonstration : Les asymptotes de l'hyperbole d'équation $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ dans un repère orthonormal admettent comme vecteurs directeurs les vecteurs $(a,-b)$ et $(a,b)$. Ces vecteurs sont orthogonaux si et seulement si $a^2=b^2$, ou encore $c^2=2 \, a^2$, puisque la demi-distance focale $c$ vérifie $c^2=a^2+b^2$. Mais l'excentricité $e$ est égale à $c/a$.$\square$

Intersection de l'hyperbole et d'une droite

En utilisant l'équation de l'hyperbole dans un repère porté par les asymptotes, on vérifie immédiatement que toute droite parallèle à l'une des asymptotes (et distincte de cette asymptote) coupe l'hyperbole en exactement un point. Une telle droite admet en effet dans ce repère une équation de la forme $x=x_0$ ou $y=y_0$, où $x_0$ (resp. $y_0$) est un réel non nul.

Proposition 11   Si une droite $D$ non parallèle aux asymptotes coupe l'hyperbole en deux points $M$ et $N$ (distincts ou confondus) et les asymptotes en deux points $P$ et $Q$, les segments $[MN]$ et $[PQ]$ ont même milieu.

Démonstration : Rapportons le plan à un repère (en général non orthonormé) porté par les asymptotes dans lequel l'équation de l'hyperbole est $xy=1$. Une droite $D$ non parallèle aux asymptotes a une équation de la forme $ux+vy+w=0$, avec $uv\not =0$. Un point de coordonnées $(x,y)$ appartient à l'hyperbole et à $D$ si et seulement si $y=1/x$ et $ux^2+wx+v=0$. La droite $D$ coupe donc l'hyperbole en deux points distincts $(x_1,y_1)$ et $(x_2,y_2)$ si le discriminant $w^2-4\, uv$ de cette équation du second degré est strictement positif et un un point double s'il est nul. Dans le cas où $D$ coupe l'hyperbole en deux points distincts ou confondus $M$ et $N$, le milieu du segment $[MN]$ a pour abscisse $\dfrac{x_1+x_2}{2}=-\dfrac{w}{2\, u}$. Les points $P$ et $Q$ d'intersection de $D$ avec les axes ont pour coordonnées $(-\dfrac{w}{u},0)$ et $(0,-\dfrac{w}{v})$. Les milieux des segments $[MN]$ et $[PQ]$ ont donc même abscisse et sont donc confondus, puisqu'ils appartiennent tous deux à $D$.$\square$

Construction de l'hyperbole point par point

On en déduit une construction point par point d'une hyperbole dont on connaît les asymptotes et un point : si $M$ est le point donné, on mène par $M$ une droite coupant les asymptotes en $P$ et $Q$, le symétrique $M'$ de $M$ par rapport au milieu $I$ du segment $[PQ]$ appartient alors à l'hyperbole. On peut ainsi construire à la règle et au compas autant de points de l'hyperbole qu'on le souhaite.