Propriétés des tangentes

Rappels : dérivation vectorielle Soit $t\longmapsto \u(t)$ une fonction d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ dans un espace vectoriel $\overrightarrow{E}$ de dimension finie $n$. On dit que cette fonction est dérivable si toutes les coordonnées $x_1(t),\dots ,x_n(t)$ de $\u(t)$ dans une base $\mathcal B = (\vec{e}_1,\dots,\vec{e}_n)$ de $\overrightarrow{E}$ le sont (cette propriété ne dépend pas de la base). Le vecteur $x'_1(t)\vec{e}_1+\dots +x'_n(t)\vec{e}_n$ est alors indépendant de la base. On le note $\u'(t)$.
On vérifie immédiatement que si deux fonctions $t\longmapsto \u(t)$ et $t\longmapsto \v(t)$ d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ dans un espace vectoriel euclidien $\overrightarrow{E}$ sont dérivables, la fonction $t\longmapsto \u(t)\cdot \v(t)$ de $I$ dans $\mathbb{R}$ est dérivable et que sa dérivée est $t\longmapsto \u'(t)\cdot \v(t)+\u(t)\cdot \v'(t)$. En particulier, la fonction $t\longmapsto \Vert\u(t)\Vert^2$ a pour dérivée $t\longmapsto 2\u(t)\cdot \u'(t)$. On en déduit (dérivation d'une fonction composée) que la fonction $t\longmapsto \Vert\u(t)\Vert$ est dérivable en tout point où elle ne s'annule pas et que sa dérivée en un tel point est égale à $\dfrac{\u(t)}{\Vert\u(t)\Vert}\cdot \u'(t)$.
Une fonction $t\longmapsto M(t)$ d'un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ dans un espace affine $E$ est dite dérivable s'il existe un point $O$ de $E$ tel que la fonction $t\longmapsto \overrightarrow{OM(t)}$ de $I$ dans $\overrightarrow{E}$ soit dérivable. On note alors $\overrightarrow{M}'(t)$ sa dérivée (il résulte immédiatement de la relation de Chasles que ce vecteur ne dépend pas du point $O$). La courbe de représentation paramétrique $t\longmapsto M(t)$ admet alors en tout point de paramètre $t$ où $\overrightarrow{M}'(t)$ ne s'annule pas une tangente de vecteur directeur $\overrightarrow{M}'(t)$.

Tangentes à la parabole

Soit $M=M(t)$ une représentation paramétrique de la parabole et $H=H(t)$ le projeté orthogonal de $M$ sur la directrice $D$. En dérivant par rapport à $t$ la relation $FM^2-HM^2=0$, on obtient $2\overrightarrow{FM}\cdot \overrightarrow{M}' - 2\overrightarrow{HM}\cdot (\overrightarrow{M}'-\overrightarrow{H}')=0$. Mais $\overrightarrow{HM}\cdot \overrightarrow{H}'=0$ puisque le vecteur $\overrightarrow{HM}$ est orthogonal à $D$ et le vecteur $\overrightarrow{H}'$ appartient à la direction de $D$. Il en résulte $\overrightarrow{FH}\cdot \overrightarrow{M}'=(\overrightarrow{FM}-\overrightarrow{HM})\cdot \overrightarrow{M}'=0$. La tangente en $M$ à la parabole est donc orthogonale à la droite $(FH)$, i.e. est la hauteur issue de $M$ dans le triangle $MFH$. Ce triangle étant isocèle en $M$, cette tangente est aussi la médiatrice de $[HF]$ et la bissectrice intérieure de l'angle en $M$ de ce triangle.

Proposition 4   La tangente en un point $M$ à la parabole de foyer $F$ et de directrice $D$ est la médiatrice de $[HF]$, où $H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $D$. C'est aussi la bissectrice intérieure de l'angle en $M$ dans le triangle isocèle $HMF$.

Il en résulte que tout rayon lumineux parallèle à l'axe d'un miroir parabolique se réfléchit en un rayon passant par le foyer : un miroir parabolique concentre donc la lumière au foyer. Cette propriété est utilisée dans certains télescopes et dans les fours solaires (voir section 3.4).

Tangentes aux coniques à centre Soit $\Gamma$ l'ellipse de foyers $F$ et $F'$ et de demi-grand axe $a$. En dérivant la relation $FM+F'M=2a$, on obtient de même : $\left( \dfrac{\overrightarrow{FM}}{\Vert\overrightarrow{FM}\Vert} + \dfrac{\ov... ...arrow{F'M}}{\Vert\overrightarrow{F'M}\Vert} \right) \cdot \overrightarrow{M}'=0$. Mais le vecteur $\dfrac{\overrightarrow{MF}}{\Vert\overrightarrow{FM}\Vert} + \dfrac{\overrightarrow{MF'}}{\Vert\overrightarrow{F'M}\Vert}$ est somme de deux vecteurs directeurs unitaires des demi-droites $[MF)$ et $[MF')$ ; c'est donc un vecteur directeur de la bissectrice intérieure de l'angle en $M$ du triangle $MFF'$. Il en résulte que la tangente en $M$ à l'ellipse est orthogonale à cette bissectrice intérieure : c'est donc la bissectrice extérieure de l'angle en $M$ de ce triangle.

Dans le cas de l'hyperbole, on montre de même, en dérivant la relation $FM-F'M=\pm 2a$ (chaque choix de signe correspondant à une branche de l'hyperbole), que la tangente en $M$ est la bissectrice intérieure de l'angle en $M$ du triangle $MFF'$.

Ellipses et hyperboles homofocales

Les ellipses (resp. les hyperboles) de foyers $F$ et $F'$ fixés sont les lignes de niveau de la fonction $M\mapsto MF+MF'$ (resp. $M\mapsto \vert MF-MF'\vert$). Par tout point du plan n'appartenant pas au segment $[FF']$ (resp. à la médiatrice de $[FF']$ ou à la droite $(FF')$ privée du segment $[FF']$) passe donc une et une seule ellipse (resp. hyperbole) de foyers $F$ et $F'$. Il résulte de la démonstration précédente que ces deux coniques se coupent à angle droit, puisque les deux bissectrices en $M$ du triangle $MFF'$ sont perpendiculaires (les gradients des deux fonctions considérées sont en tout point orthogonaux). Les ellipses et les hyperboles de foyers fixés constituent donc deux familles de courbes orthogonales.

La figure GeoGebra illustre ce résultat. Vous pouvez déplacer le point $M$. L'ellipse et l'hyperbole de foyers $F$ et $F'$ passant par $M$ sont représentées. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Génération tangentielle des coniques Soit $D$ une droite du plan et $F$ un point du plan n'appartenant pas à $D$. L'ensemble des médiatrices des segments $HF$, quand $H$ parcourt $D$ est alors l'ensemble des tangentes à la parabole de foyer $F$ et de directrice $D$. On dit que la parabole est l'enveloppe de cette famille de droites.

La figure GeoGebra illustre ce résultat. Vous pouvez déplacer le point $H$ sur la directrice $D$. La trace de la médiatrice du segment $[FH]$ est représentée. C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

De même, si $F$ et $F'$ sont deux points distincts du plan et $C$ le cercle de centre $F'$ et de rayon $2a$, où $a$ est un réel vérifiant $FF'<2a$, l'ensemble des médiatrices des segments $HF$, quand $H$ parcourt $C$ est l'ensemble des tangentes à l'ellipse de foyers $F$ et $F'$ et de grand axe $2a$. L'ellipse est donc l'enveloppe de cette famille de droites. Le cas de l'hyperbole est analogue (avec cette fois $FF'>2a$).

Les deux figures GeoGebra illustrent cette propriété dans le cas de l'ellipse et de l'hyperbole résultat. Vous pouvez déplacer le point $M$ sur le cercle directeur de centre $F$. La trace de la médiatrice du segment $[F'M]$ est représentée.
Cas de l'ellipse : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Cas de l'hyperbole : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com

Si vous préférez une version animée, vous pouvez regarder les deux figures ci-dessous :
Cas de l'ellipse : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com
Cas de l'hyperbole : C'est une appliquette Java créée avec GeoGebra ( www.geogebra.org) - Il semble que Java ne soit pas installé sur votre ordinateur, merci d'aller sur www.java.com