Vrai ou faux

Vrai-Faux 1   Soient $A$ et $B$ deux matrices. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si le produit $AB$ est défini, alors le produit $BA$ est défini.
2. $\square\;$ Si la somme $A+B$ est définie, alors le produit $AB$ est défini.
3. $\boxtimes\;$ Si le produit $AB$ est défini, alors le produit ${^t\!B} {^t\!A}$ est défini.
4. $\boxtimes\;$ Si la somme $A+B$ est définie, alors le produit $A {^t\!B}$ est défini.
5. $\square\;$ Si les produits $AB$ et $BA$ sont définis, alors la somme $A+B$ est définie.
6. $\boxtimes\;$ Si les produits $AB$ et $BA$ sont définis, alors la somme $A+{^t\!B}$ est définie.
7. $\boxtimes\;$ Si les produits $AB$ et ${^t\!B}A$ sont définis, alors la somme $A+{^t\!A}$ est définie.
8. $\square\;$ Si les produits $AB$ et ${^t\!B}A$ sont définis, alors la somme $A+{^t\!B}$ est définie.
9. $\square\;$ Si le produit $AB$ est défini, alors la somme $A {^t\!A}+B {^t\!B}$ est définie.
10. $\boxtimes\;$ Si le produit $AB$ est défini, alors la somme ${^t\!A} {A}+B {^t\!B}$ est définie.

Vrai-Faux 2   Soit $A$ une matrice carrée. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $A$ est inversible, alors $A {^t\!A}={^t\!A} A$.
2. $\boxtimes\;$ Si $A$ est inversible, alors $A {^t\!A}$ est inversible.
3. $\square\;$ Si $A$ est inversible, alors $A+{^t\!A}$ est inversible.
4. $\boxtimes\;$ Si $A$ est inversible, alors $A$ est équivalente à la matrice identité.
5. $\square\;$ Si $A$ est inversible, alors $A$ est semblable à la matrice identité.

Vrai-Faux 3   Soit $A$ une matrice carrée. On dit que $A$ est diagonale si tous ses coefficients d'ordre $(i,j)$ avec $i\neq j$, sont nuls. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si $A$ est diagonale, alors $A$ est inversible.
2. $\boxtimes\;$ Si $A$ est diagonale, alors $A$ est symétrique.
3. $\boxtimes\;$ Si $A$ est diagonale et si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls, alors $A$ est inversible.
4. $\square\;$ Si $A$ est diagonale, alors $A$ est semblable à la matrice identité.
5. $\square\;$ Si $A$ est diagonale, alors $A$ est équivalente à la matrice identité.

Vrai-Faux 4   Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies, lesquelles sont fausses, et pourquoi ?

1. $\square\;$ Si une matrice est de rang $r$, alors elle est équivalente à la matrice $I_r$
2. $\boxtimes\;$ Une matrice est de rang $r$ si et seulement si la famille de ses vecteurs colonnes est de rang $r$.
3. $\boxtimes\;$ Une matrice est de rang $r$ si et seulement si la famille de ses vecteurs lignes est de rang $r$.
4. $\square\;$ Si une matrice $A$ est de rang $r$, alors toute matrice formée de $r$ colonnes parmi les colonnes de $A$ est de rang $r$.
5. $\boxtimes\;$ Si une matrice formée de $r$ colonnes parmi les colonnes de $A$ est de rang $r$, alors $A$ est de rang $\geqslant r$.
6. $\boxtimes\;$ La matrice nulle est la seule matrice de rang 0.
7. $\square\;$ Si deux lignes de $A$ ne sont pas proportionnelles, alors le rang de $A$ est au plus $2$.
8. $\square\;$ Si deux lignes de $A$ sont proportionnelles, alors le rang de $A$ est strictement inférieur à son nombre de colonnes.
9. $\boxtimes\;$ Si une matrice carrée de ${\cal M}_r$, extraite de $A$ est inversible, alors $A$ est de rang $\geqslant r$.
10. $\boxtimes\;$ Si $A$ est de rang $r$, alors aucune matrice carrée de ${\cal M}_{r+1}$ extraite de $A$ n'est inversible.
11. $\square\;$ Si toute matrice carrée de ${\cal M}_r$, extraite de $A$ est de rang $r$, alors $A$ est de rang $r$.