Calcul de l'inverse

Soit $ A\in{\cal M}_n(\mathbb{R})$ une matrice carrée. Soit $ b\in\mathbb{R}^n$ un vecteur quelconque. Chercher un $ n$-uplet $ x=(x_1,\ldots,x_n)$ tel que $ Ax=b$, c'est résoudre un système linéaire de $ n$ équations à $ n$ inconnues. Si la matrice $ A$ est inversible, alors la solution s'écrit $ x=A^{-1}b$. La méthode du pivot de Gauss parmet de résoudre le système $ Ax=b$ pour un second membre quelconque, donc de calculer $ x=A^{-1}b$. Les coefficients de $ A^{-1}$ se lisent sur le système résolu. Voici ce qu'on obtient pour une matrice $ A$ à deux lignes et deux colonnes.

\begin{displaymath}
\left\{
\begin{array}{rrcr}
x&+2y&=&a\ [2ex]
3x&+4y&=&b
\en...
...cl}
x&=&-2a+b\ [2ex]
y&=&\frac{1}{2}(3a-b)
\end{array}\right.
\end{displaymath}

Les coefficients de $ A^{-1}$ sont ceux de $ a$ et $ b$ dans l'expression de $ x$ et $ y$. Dans le cas général on obtient :

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}
\alpha&\beta\\
\gamma&\delta
\end{arra...
...
\left(\begin{array}{rr}
\delta&-\beta\\
-\gamma&\alpha
\end{array}\right)\;,
$

si $ \alpha\delta-\beta\gamma\neq 0$. L'expression de $ A^{-1}$ est facile à mémoriser. Pour inverser une matrice à deux lignes et deux colonnes, il faut :
  1. échanger les deux coefficients diagonaux
  2. changer le signe des deux autres
  3. diviser tous les coefficients par le déterminant $ \alpha\delta-\beta\gamma$.
Pour $ n\geqslant 3$, il n'y a pas de formule générale aussi facile. La technique la plus sûre consiste à résoudre le système $ Ax=b$ pour un second membre quelconque, avec la méthode du pivot de Gauss, puis à écrire ensuite que la solution obtenue est le produit de $ A^{-1}$ par le second membre. Soit par exemple à inverser la matrice $ A$ suivante.

\begin{displaymath}
A=
\left(
\begin{array}{rrr}
\hspace{3mm}1&0&-1\\
1&-1&0\\
1&-1&1
\end{array}\right)
\end{displaymath}

Ecrivons le système

$\displaystyle A\left(\begin{array}{c}x\ y\ z\end{array}\right) =
\left(\begin{array}{c}a\ b\ c\end{array}\right)\;,
$

soit

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rrrcr}
x&&-z&=&a\\
x&-y&&=&b\\
x&-y&+z&=&c
\end{array}\right.
$

Voici les différentes étapes de la résolution par la méthode du pivot de Gauss.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{rrrcr}
x&&-z&=&a\\
x&-y&&=&b\\
x&-y&+z&=&c...
...in{array}{rrrcr}
x&&-z&=&a\\
&-y&+z&=&b-a\\
&-y&+2z&=&c-a
\end{array}\right.
$

$\displaystyle \Longleftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{rrrcr}
x&&-z&=&a\ ...
...{\begin{array}{rrrcr}
x&&-z&=&a\\
&y&-z&=&a-b\\
&&z&=&c-b
\end{array}\right.
$

$\displaystyle \Longleftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{rrrcr}
x&&&=&a-b+c\...
...end{array}\right) =
A^{-1}\left(\begin{array}{c}a\ b\ c\end{array}\right)\;,
$

avec

$\displaystyle A^{-1} =
\left
(\begin{array}{rrr}
1&-1&\hspace*{3mm}1\\
1&-2&1\\
0&-1&1
\end{array}\right)\;.
$


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