QCM

Donnez-vous une heure pour répondre à ce questionnaire. Les 10 questions sont indépendantes. Pour chaque question 5 affirmations sont proposées, parmi lesquelles 2 sont vraies et 3 sont fausses. Pour chaque question, cochez les 2 affirmations que vous pensez vraies. Chaque question pour laquelle les 2 affirmations vraies sont cochées rapporte 2 points.

Question 1    
\framebox{A}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^1 1=1}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^1 k=1}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\prod_{k=0}^1 k=1}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\prod_{k=0}^1 1=1}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{10} 1=10}$.

Question 2   Soit $ n$ un entier naturel.
\framebox{A}
$ \displaystyle{\sum_{k=n}^{2n}2 =2n}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n} 2=4n+2}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\prod_{k=0}^{2n} 2=2^{2n}}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n} 2k=2n(2n+1)}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\prod_{k=0}^{2n} 2(k+1)=(2n)!}$.

Question 3   Soient $ n$ et $ k$ deux entiers.
\framebox{A}
$ \displaystyle{\binom{n+k}{n}=\frac{n!}{k!(n+k)!}}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\binom{n+k}{n}=\binom{n+k-1}{n}+\binom{n+k-1}{k-1}}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\binom{n+k}{n}=\binom{n+k-1}{n}+\binom{n+k-1}{k}}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\binom{n+k}{n}=\frac{n+k}{n} \binom{n+k-1}{n}}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\binom{n+k}{n}=\frac{n+k}{k} \binom{n+k-1}{n}}$.

Question 4   Un jeu de tarot comprend 78 cartes, dont 21 atouts. À cinq joueurs, chacun reçoit $ 15$ cartes, et 3 cartes constituent le «chien».
\framebox{A}
Il y a $ \displaystyle{\binom{78}{3}}$ chiens différents possibles.
\framebox{B}
Il y a $ \displaystyle{\binom{57}{3}}$ chiens différents ne contenant aucun atout.
\framebox{C}
Il y a $ \displaystyle{\binom{78}{2}}$ chiens différents contenant le «petit»  (atout numéro $ 1$).
\framebox{D}
Il y a $ \displaystyle{\binom{21}{1}\binom{57}{2}}$ chiens différents contenant au moins un atout.
\framebox{E}
Il y a $ \displaystyle{\binom{21}{2}\binom{76}{1}}$ chiens différents contenant au moins deux atouts.

Question 5   Soit $ n$ un entier naturel.
\framebox{A}
$ \displaystyle{\sum_{k=n}^{2n} 2^k=4^n-2^n}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\sum_{k=2}^{n} 3^k=\frac{3^{n+1}-9}{2}}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\sum_{k=2}^{2n} 2^k=4^{n+1}-8}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\sum_{k=1}^{2n} 4^k=\frac{4}{3} (16^n-1)}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\sum_{k=n}^{2n} 3^k=3(9^n)-3^n}$.

Question 6   Soit $ n$ un entier naturel.
\framebox{A}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}2^k=3^n}$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}3^k=2^n}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}(-3)^k=2^{2n}}$.
\framebox{D}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k}(-2)^k=1}$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}(-2)^k3^{-k}=1}$.

Question 7    
\framebox{A}
$ \vert 1+\mathrm{i}\vert=2$.
\framebox{B}
$ \displaystyle{\mathrm{arg}(1-\mathrm{i})=-\frac{\pi}{2}}$.
\framebox{C}
$ \displaystyle{\mathrm{arg}(-1-\mathrm{i})=\frac{5\pi}{4}}$.
\framebox{D}
$ \vert 3+4\mathrm{i}\vert=5$.
\framebox{E}
$ \displaystyle{\mathrm{arg}(1+3\mathrm{i})=\frac{\pi}{3}}$.

Question 8    
\framebox{A}
$ \mathrm{i}^{23}=-\mathrm{i}$.
\framebox{B}
$ (1+\mathrm{i})^{9}=(1+\mathrm{i})$.
\framebox{C}
$ (1+\sqrt{3}\mathrm{i})^{9}=512\mathrm{i}$.
\framebox{D}
$ (1-\mathrm{i})^{10}=-32\mathrm{i}$.
\framebox{E}
$ (\sqrt{3}+\mathrm{i})^6 = 64$.

Question 9    
\framebox{A}
L'ensemble des points du plan complexe tels que $ \vert z-\mathrm{i}\vert=\vert z+1\vert$ est un cercle.
\framebox{B}
L'ensemble des points du plan complexe tels que $ \vert z-\mathrm{i}\vert=\vert z+\mathrm{i}\vert$ est l'axe des réels.
\framebox{C}
L'ensemble des points du plan complexe tels que $ \vert z-\mathrm{i}\vert=\vert 1+\mathrm{i}\vert$ est une droite.
\framebox{D}
L'ensemble des points du plan complexe tels que $ \vert z+1\vert=\vert 1+\mathrm{i}\vert$ est un cercle.
\framebox{E}
L'ensemble des points du plan complexe tels que $ \vert z-\mathrm{i}\vert=\vert 2z+\mathrm{i}\vert$ est une droite.

Question 10    
\framebox{A}
L'application qui au point $ M$ d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ z'=1-\mathrm{i}z$ est une homothétie.
\framebox{B}
L'application qui au point $ M$ d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ z'=1-\mathrm{i}z$ est une rotation dont le centre a pour affixe $ 1$.
\framebox{C}
L'application qui au point $ M$ d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ z'=(1-\mathrm{i})z$ est une rotation d'angle $ -\pi/2$.
\framebox{D}
L'application qui au point $ M$ d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ z'=1-\mathrm{i}z$ est une rotation d'angle $ -\pi/2$.
\framebox{E}
L'application qui au point $ M$ d'affixe $ z$ associe le point $ M'$ d'affixe $ z'=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-\mathrm{i})z$ est une rotation dont le centre est l'origine du plan complexe.

\framebox{\rotatebox{180}{Réponses : 1-BD 2-BD 3-CE 4-AB 5-BD 6-AC 7-CD 8-AD 9-BD 10-DE}}

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