Exercices

Exercice 1   Calculer les nombres suivants.

$$\sum_{k=1}^3\sum_{h=1}^k 1\;,\quad \sum_{k=1}^3\sum_{h=1}^k h\;,\quad \sum_{k=1}^3\sum_{h=1}^k k\;,$$

$$\sum_{k=1}^3\prod_{h=1}^k h\;,\quad \sum_{k=1}^3\prod_{h=1}^k k\;,\quad \prod_{k=1}^3\sum_{h=1}^k h\;,$$

$$\prod_{k=1}^3\sum_{h=1}^k k\;,\quad \prod_{k=1}^3\prod_{h=1}^k h\;,\quad \prod_{k=1}^3\prod_{h=1}^k k\;.$$

Exercice 2   Soient $a_1,a_2,a_3,a_4$ quatre variables. Ecrire à l'aide des symboles $\sum$ et $\prod$ les quantités suivantes.

1. $a_1+a_2+a_3+a_4$.
2. $a_1+a_1a_2+a_1a_2a_3+a_1a_2a_3a_4$.
3. $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4$.
4. $a_1a_2a_3+a_2a_3a_4$.
5. $a_1a_2+a_1a_3+a_1a_4+a_2a_3+a_2a_4+a_3a_4$.
6. $a_1(a_1+a_2)(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2+a_3+a_4)$.

Exercice 3   Démontrer les égalités suivantes.

1. $${\prod_{k=1}^n (2k) = 2^n n!}$$.
2. $${\prod_{k=1}^{n-1} (2k+1) = \frac{(2n)!}{2^n n!}}$$.
3. $${\prod_{k=1}^n \frac{2k+1}{2k-1} = 2n+1}$$.
4. $${\prod_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k} = \frac{(n+1)!}{2n}}$$.

Exercice 4   Une entreprise veut se donner un nouveau sigle, qui soit formé d'exactement 3 lettres. De combien de façons peut-elle le faire ? Combien reste-t-il de possibilités si on impose au sigle d'être formé de lettres distinctes ?

Exercice 5   On met dans une boîte 26 jetons de Scrabble, portant chacune des lettres de l'alphabet. On en tire 3 à la fois. Combien de tirages différents peut-on obtenir ?

Exercice 6   Dix personnes doivent s'asseoir autour d'une table circulaire. On considère comme identiques deux dispositions dont l'une se déduit de l'autre par une rotation. Combien y a-t-il de dispositions possibles ? Combien en reste-t-il si deux personnes données refusent d'être assises à côté ?

Exercice 7   Une association comprenant 20 membres dont 12 femmes et 8 hommes désire former un comité de 5 personnes, dans lequel doivent se trouver au moins deux hommes et deux femmes. Calculer de combien de façons on peut former ce comité dans chacun des cas suivants.

1. Chaque membre de l'association accepte d'en faire partie.
2. Deux des femmes refusent d'en faire partie.
3. Monsieur X et Madame Y refusent de siéger ensemble.

Exercice 8   Démontrer les égalités suivantes.

1. $${\sum_{k=0}^n (n-k) = \frac{n(n+1)}{2}}$$.
2. $${\sum_{k=0}^n (k+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}}$$.
3. $${\sum_{k=0}^n (2k+1) = (n+1)^2}$$.

Exercice 9   Démontrer les égalités suivantes.

1. $${\sum_{k=0}^n 2^k = 2^{n+1}-1}$$.
2. $${\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = 2^{n}-2}$$.
3. $${\sum_{k=0}^{2n-1} 2^{k/2} = \frac{2^{n}-1}{\sqrt{2}-1}}$$.
4. $${\sum_{k=0}^{2n} 2^{2k-1} = \frac{4^{2n+1}-1}{6}}$$.
5. $${\sum_{k=0}^n 2^k3^{n-k} = 3^{n+1}-2^{n+1}}$$.
6. $${\sum_{k=0}^n (-1)^k2^{n-k} = \frac{2^{n+1}-(-1)^{n+1}}{3}}$$.

Exercice 10   Démontrer les égalités suivantes.

1. $${\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} = 2^n}$$.
2. $${\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k} = 0}$$.
3. $${\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k} = 2^{2n-1}}$$ (ajoutez les deux égalités précédentes).
4. $${\sum_{k=0}^n 2^k\binom{n}{k} = 3^n}$$.
5. $${\sum_{k=0}^n 2^{3k-1}\binom{n}{k} = 9^n/2}$$.
6. $${\sum_{k=0}^n 2^{3k}3^{n-2k}\binom{n}{k} = (17/3)^n}$$.
7. $${\sum_{k=0}^n \mathrm{i}^k\binom{n}{k} = 2^{n/2}\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/4}}$$.
8. $${\sum_{k=0}^n 3^{k/2}\mathrm{i}^k\binom{n}{k} = 2^{n}\mathrm{e}^{n\mathrm{i}\pi/3}}$$.
9. $$\sum_{k=1}^n(nk-1)=\frac{n(n-1)(n+2)}{2}$$.

Exercice 11   Calculer les sommes suivantes.

1. $$\sum_{k=3}^{n+4}(k-2)$$.
2. $$\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}3^{2k+1}2^{n-3k}$$.

Exercice 12   Soit $n\in\mathbb{N}$ et $f(x)=(1+x)^n$.

1. En utilisant une formule du cours, écrivez $f(x)$ comme une somme où interviennent les puissances de $x$.
2. La dérivée de $f$ est $f'(x)=n(1+x)^{n-1}$. L'intégrale de $f$ sur $[0,1]$ vaut
   $$\int_{0}^1f(x)dx=\left[\frac{(1+x)^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^1=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}.$$
   En utilisant la question 1. donner une autre expression de $f'(x)$ et de cette intégrale.
3. En déduire les valeurs des expressions suivantes :
   $$\sum_{k=0}^n\begin{pmatrix}n k\end{pmatrix},\qquad\sum_{k=0}^nk... ...end{pmatrix},\qquad \sum_{k=0}^n\frac{1}{k+1}\begin{pmatrix}n k\end{pmatrix}.$$

Exercice 13   Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. Cet exercice présente une méthode générale pour calculer $\sum_{k=0}^nk^p$, sur le cas particulier $p=2$.

1. Soit $x\to P(x)$ une fonction, donner une expression plus simple de $\sum_{k=0}^n(P(k+1)-P(k))$.
2. Soit $a,b,c$ des réels et $P(x)=ax^3+bx^2+cx$. Calculer $P(x+1)-P(x)$.
3. Déterminer $a,b,c$ de sorte que $P(x+1)-P(x)=x^2$.
4. Déduire des questions précédentes que
   $$\sum_{k=0}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

Exercice 14   Le but de l'exercice est de démontrer que pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, et pour tout n-uplets de réels $(a_{1},\ldots, a_{n})\in\mathbb{R}^n$, $(b_{1},\ldots, b_{n})\in\mathbb{R}^n$ on a l'inégalité de Cauchy-Schwarz :

$$\left(\sum_{i=1}^na_{i}b_{i}\right)^2\leqslant\left(\sum_{i=1}^na_{i}^2\right)\times \left(\sum_{i=1}^nb_{i}^2\right)$$

On pose $A=\displaystyle\sum_{i=1}^na_{i}^2$, $$B=\sum_{i=1}^nb_{i}^2$$, $$C=\sum_{i=1}^na_{i}b_{i}$$.

1. Soit $$P(x)=\sum_{i=1}^n(a_{i}x+b_{i})^2$$. Exprimez $P(x)$ en fonction de $A$, $B$, $C$ et $x$.
2. Si $A\neq0$, quel est le signe du trinôme du second degré $P$ ?
3. Déduisez que $C^2\leqslant AB$.
4. Soit $(a_{1},\ldots, a_{n})$ un n-uplet de réels strictement positifs. Montrez que
   $$\left(\sum_{i=1}^na_{i}\right)\times \left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_{i}}\right)\geqslant n^2$$

Exercice 15   Mettre sous la forme $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants.

$$\frac{3+6\mathrm{i}}{3-4\mathrm{i}}\;,\quad \frac{5+2\mathrm{i}}{... ...\frac{-2}{1-\mathrm{i}\sqrt{3}}\;,\quad \frac{1+2\mathrm{i}}{1-2\mathrm{i}}\;,$$

$$\left(\frac{1+\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}\right)^2+\frac{3+6\mathrm... ...uad \left(\frac{1+\mathrm{i}-\sqrt{3}(1-\mathrm{i})}{1+\mathrm{i}}\right)^2\;.$$

Exercice 16   Calculer le module et l'argument des nombres complexes suivants.

$$1+\mathrm{i}\;,\quad 3+3\mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,\quad -1+\mathrm{i}\sqrt{3}\;,$$

$$\sqrt{3}+\mathrm{i}\;,\quad -\frac{4}{3}\mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}(1+\sqrt{2})\;,\quad (1+\sqrt{2})-\mathrm{i}\;.$$

Exercice 17   Mettre sous la forme $a+\mathrm{i}b$ les nombres complexes suivants.

$$2\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}\;,\quad 3\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi... ...\mathrm{e}^{-7\mathrm{i}\pi/3}\;,\quad 3\mathrm{e}^{-7\mathrm{i}\pi/8}\;,\quad$$

$$(2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4})(\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\pi/4})\;,\quad \frac{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}}{\mathrm{e}^{-3\mathrm{i}\pi/4}}$$

$$(2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3})(3\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6})\;,\quad \frac{2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/3}}{3\mathrm{e}^{-5\mathrm{i}\pi/6}}$$

Exercice 18   Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.

$$\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\;,\quad \left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)^3\;,\quad (1+\mathrm{i}\sqrt{3})^4$$

$$(1+\mathrm{i}\sqrt{3})^5+(1-\mathrm{i}\sqrt{3})^5\;,\quad \frac{1... ...\sqrt{3}-\mathrm{i}}\;,\quad \frac{\sqrt{6}-\mathrm{i}\sqrt{2}}{2-2\mathrm{i}}$$

Exercice 19   Calculer les racines carrées des nombres suivants.

$$-1\;,\quad \mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}\;,\quad -1-\mathrm{i}\;,\quad 1+\mathrm{i}\sqrt{3}$$

$$3+4\mathrm{i}\;,\quad 8-6\mathrm{i}\;,\quad 7+24\mathrm{i}\;,\quad 3-4\mathrm{i}\;,\quad 24-10\mathrm{i}$$

Exercice 20    

1. Calculer les racines carrées de $(1+\mathrm{i})/\sqrt{2}$. En déduire les valeurs de $\cos(\pi/8)$ et $\sin(\pi/8)$.
2. Calculer les racines carrées de $(\sqrt{3}+\mathrm{i})/2$. En déduire les valeurs de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$.

Exercice 21   Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.

$$z^2+z+1=0\;,\quad z^2-z+1=0\;,\quad z^2+2z+4=0\;,$$

$$4z^2-2z+1=0\;,\quad z^2+(1+2\mathrm{i})z+\mathrm{i}-1=0\;,\quad z^2-(3+4\mathrm{i})z-1+5\mathrm{i}=0\;,$$

$$z^2+4z+5=0\;,\quad z^2-(1-\mathrm{i})z-\mathrm{i}=0\;,\quad z^2-(11-5\mathrm{i})z +24-27\mathrm{i}=0\;,$$

$$z^3=\mathrm{i}\;,\quad z^3=\frac{-1+\mathrm{i}}{4}\;,\quad z^3=2-2\mathrm{i}\;,$$

$$z^4=1\;,\quad z^4= (-1+\mathrm{i}\sqrt{3})/2\;,\quad \left(\frac{2z+1}{z-1}\right)^4=1\;.$$

Exercice 22   Soit $\theta$ un réel.

1. Calculer la somme $${\sum_{k=0}^n \mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}}$$. En déduire les valeurs de $${\sum_{k=0}^n \cos(k\theta)}$$ et $${\sum_{k=0}^n \sin(k\theta)}$$.
2. Calculer la somme $${\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\mathrm{e}^{\mathrm{i}k\theta}}$$. En déduire les valeurs de $${\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(k\theta)}$$ et $${\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\sin(k\theta)}$$.

Exercice 23   Linéariser :

$$\cos^3(x)\;,\quad \sin^3(x)\;,\quad \cos^4(x)\;,\quad \sin^4(x)\;,$$

$$\cos^2(x)\sin^2(x)\;,\quad \cos(x)\sin^3(x)\;,\quad \cos^3(x)\sin(x)\;,$$

$$\cos^3(x)\sin^2(x)\;,\quad \cos^2(x)\sin^3(x)\;,\quad \cos(x)\sin^4(x)\;.$$

Exercice 24    

1. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que $(1-z)/(1-\mathrm{i}z)$ soit réel.
2. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que $(1-z)/(1-\mathrm{i}z)$ soit imaginaire pur.
3. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que les points d'affixe $1$, $z$, $1+z^2$ soient alignés.
4. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que les points d'affixe $z$, $\mathrm{i}z$, $\mathrm{i}$ forment un triangle équilatéral.
5. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que les points d'affixe $z$, $z^2$, $z^3$ forment un triangle rectangle au point d'affixe $z$.
6. Déterminer l'ensemble des complexes $z$ tels que les points d'affixe $z$, $1/z$, $1-z$ soient sur un même cercle, de centre l'origine.

Exercice 25    

1. Montrer que $(1+\mathrm{i})^6 = -8\mathrm{i}$.
2. En déduire une solution de l'équation $(E)\quad z^2=-8\mathrm{i}$.
3. Ecrire les deux solutions de $(E)$ sous forme algébrique, et sous forme exponentielle.
4. Déduire de la première question une solution de l'équation $(E')\quad z^3=-8\mathrm{i}$.
5. Soit $A$ le point d'affixe $2\mathrm{i}$. Soit $B$ l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $2\pi/3$. Soit $C$ l'image de $B$ par la même rotation. Ecrire les affixes des points $B$ et $C$, sous forme exponentielle, puis sous forme algébrique.
6. Vérifier que les affixes calculées à la question précédente sont solution de $(E')$.
7. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral et que $O$ est son centre de gravité.

Exercice 26   On note $j$ le nombre complexe $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/3}$. On pose $a=8$, $b=6j$ et $c=8j^2$. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$. On note

$\bullet$

$A'$ l'image de $B$ par la rotation de centre $C$, et d'angle $\pi/3$

$\bullet$

$B'$ l'image de $C$ par la rotation de centre $A$, et d'angle $\pi/3$

$\bullet$

$C'$ l'image de $A$ par la rotation de centre $B$. et d'angle $\pi/3$

On note $a'$, $b'$ et $c'$ les affixes respectives de $A'$, $B'$ et $C'$.

1. Calculer $a'$, $b'$ et $c'$.
2. Montrer que les droites $AA'$, $BB'$ et $CC'$ sont concourantes en 0.
3. Montrer que $j^3=1$ et $1+j+j^2=0$
4. Soit $z$ un nombre complexe quelconque. Montrer que
   $$\vert (a-z)+(b-z)j^2+(c-z)j \vert = 22$$

5. On admet que quels que soient les nombres complexes $z$ et $z'$, $\vert z+z'\vert\leqslant \vert z\vert+\vert z'\vert$. Montrer que la somme de distances $MA+MB+MC$ est minimale lorsque $M=O$.