Construction des complexes

Soit $d$ un élément de $\mathbb{R}$, considérons l'équation $x^2=x\times x=d$. Cette équation ne peut avoir de solution dans $\mathbb{R}$ que si $d\geqslant 0$, puisque dans un corps totalement ordonné le produit de deux éléments de même signe, en particulier d'un élément par lui-même, est nécessairement positif. En particulier l'équation $x^2=-1$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

Nous voulons construire un sur-corps de $\mathbb{R}$ dans lequel l'équation $x^2=-1$ possède au moins une solution. La construction proposée s'appuie sur les propriétés algébriques classiques du quotient d'un anneau par un idéal. Des constructions plus élémentaires vous seront proposées en exercices.

Considérons $\mathbb{R}[X]$, l'anneau des polynômes à coefficients dans $\mathbb{R}$. C'est un anneau intègre qui contient $\mathbb{R}$ si on identifie $\mathbb{R}$ à l'ensemble des polynômes de degré nul auquel on adjoint le polynôme nul. Le corps $\mathbb{R}$ peut également être identifié au quotient de $\mathbb{R}[X]$ par l'idéal engendré par le polynôme irréductible $X$. Cherchons $\mathbb{C}$ sous la forme du quotient de $\mathbb{R}[X]$ par un idéal engendré par un polynôme $P$ irréductible (il aura alors naturellement une structure de corps). Rappelons que deux éléments $Q$ et $R$ de $\mathbb{R}[X]$ sont dans la même classe d'équivalence modulo $P$ si et seulement si ils ont même reste dans la division euclidienne par $P$. Considérons le cas où $P(X)=X^2+1$. Alors la classe $\overline Q$ de tout polynôme $Q$ contient un unique polynôme de degré inférieur ou égal à $1$, le reste $r_P(Q)$ de la division euclidienne du polynôme $Q$ par le polynôme $P$. On obtient donc par définition de la division euclidienne et du quotient par un idéal

Proposition 27   L'application $\widetilde{r_P}: \mathbb{R}[X]/(X^2+1)\to \mathbb{R}^1[X]$, qui à la classe $\overline Q$ d'un polynôme $Q$ associe $r_P(Q)$, définit une bijection de $\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$ sur $\mathbb{R}^1[X]$ telle que :

(i)

$\widetilde{r_P}(\overline Q+\overline R)=\widetilde{r_P}(\overline Q)+\widetilde{r_P}(\overline R)$

(ii)

$\widetilde{r_P}(\overline Q\overline R)=\widetilde{r_P} (\overline{\widetilde{r_P}(\overline Q)\widetilde{r_P}(\overline R)})$

Remarquons que la classe $\overline X$ du polynôme $X$ vérifie $(\overline X)^2=\overline{X^2}=\overline{-1}$. Par conséquent si $\widetilde{r_P}(\overline Q)=aX+b$ et $\widetilde{r_P}(\overline R)=cX+d$, on a :

$$\widetilde{r_P}(\overline Q\overline R)=\overline{r_P}((aX+b)(cX+d))=\widetilde{r_P} (\overline{acX^2+(ad+bc)X+bd})=(ad+bc)X+bd-ac.$$

On définit le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes par $\mathbb{C}=\mathbb{R}[X]/(X^2+1)$. Grâce à la Proposition 27 et à la remarque qui suit, on peut identifier $\mathbb{C}$ à $\mathbb{R}[\mathrm{i}]$, où désigne l'ensemble des polynômes dans $\mathbb{R}$ à une indéterminée $\mathrm{i}$ qui vérifie $\mathrm{i}^2=-1$. Un élément $z\in\mathbb{C}$ s'écrit donc $z=x+\mathrm{i}y$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels, et si $z=x+\mathrm{i}y$ et $w=u+\mathrm{i}v$ sont deux nombres complexes, on a

$$z+w =(x+u)+\mathrm{i}(y+v)$$

$$zw =(xu-yv)+\mathrm{i}(xv+yu).$$

Soit $z\in\mathbb{C}$ tel que $z=x+\mathrm{i}y$. Alors $x$ s'appelle la partie réelle de $z$ et $y$ la partie imaginaire de $z$. On pose $\overline z= x-\mathrm{i}y$, $\overline z\in\mathbb{C}$, c'est le conjugué de $z$. L'application $c : z\mapsto\overline z$ définit un endomorphisme d'anneau qui vérifie $c\circ c=\mathrm{Id}$ et dont l'ensemble des points fixes est $\mathbb{R}$. Le module de $z$ est le nombre réel positif $\vert z\vert$ tel que $\vert z\vert^2=z\overline z=x^2+y^2$. Comme nous l'avons déjà remarqué $z=0$ si et seulement si $\vert z\vert=0$. De plus on vérifie aisément que si $z,z'\in\mathbb{C}$ alors $\vert zz'\vert=\vert z\vert\vert z'\vert$ et l'ensemble $\mathbb{T}=\{z\in\mathbb{C} \vert \vert z\vert=1\}$ définit un sous-groupe multiplicatif de $\mathbb{C}^*$.