Nombres premiers

On appelle entier (ou entier relatif, c'est-à-dire positif ou négatif) tout élément de

$\displaystyle \mathbb{Z}=\big\{ \ldots, -3,-2,-1,\; 0,\; 1,\; 2,\; 3,\ldots \big\}
$

Définition 1   On dit qu'un entier $ a$ est un multiple d'un entier $ b$, ou que $ b$ est un diviseur de $ a$ lorsqu'il existe un entier $ k$ tel que $ a=kb$.

Définition 2   On dit qu'un entier $ p\ge 2$ est premier lorsqu'il possède pour seuls diviseurs positifs $ 1$ et lui-même.

On notera au passage qu'au hasard des définitions, on parlera parfois d'entiers relatifs (les éléments de $ \mathbb{Z}$) et parfois d'entiers naturels (les éléments de $ \mathbb{N}$). Ce n'est qu'exceptionnellement très significatif ; la principale fonction est d'être cohérent avec le reste du monde. Ainsi, comme partout ailleurs, dans ce cours, le nombre $ 3$ est un nombre premier alors que $ -3$ n'en est pas un. En revanche, les nombres négatifs étant autorisés dans la définition de «diviseurs», l'entier $ 3$ possède en tout et pour tout quatre diviseurs (à savoir $ -3$, $ {-1}$,$ 1$ et $ 3$).


Et tout de suite un joli théorème, qui remonte aux Éléments d'Euclide, écrits au IIIème siècle avant notre ère (c'est la proposition 20 du livre IX).

Théorème 1   Il existe une infinité de nombres premiers.

Vous connaissez probablement déjà une démonstration, il en existe plusieurs qui sont toutes bonnes à connaître, en voici une qui est très proche de celle du traité d'Euclide lui-même.

Démonstration : Soit $ A$ l'ensemble des nombres premiers. $ A$ est une partie de $ \mathbb{N}$, et est non vide car $ 2$ est premier. On va supposer $ A$ finie et aboutir à une absurdité.

Supposons donc $ A$ finie. Dès lors que $ A$ est une partie finie de $ \mathbb{N}$, évidemment non vide car $ 2$ est premier, $ A$ possède un plus grand élément. Notons $ P$ ce plus grand élément, le mystérieux «plus grand nombre premier».

Considérons alors l'entier $ N=P!+1$ (la factorielle de $ P$, plus $ 1$). Pour tout entier $ k$ tel que $ 2\leqslant k\le
P$, comme $ k$ divise $ P!$ et ne divise pas $ 1$, $ k$ ne peut diviser $ N$. Tout diviseur de $ N$, et en particulier tout diviseur premier de $ N$, est donc strictement supérieur à $ P$.

Or tout entier, et par exemple $ N$, possède au moins un diviseur premier (pourquoi ? exercice...). Mais alors, chacun de ces diviseurs premiers contredit la maximalité de $ P$. Absurdité !$ \square$


         © UJF Grenoble, 2011                              Mentions légales