Abacistes contre algoristes

Dans toutes les civilisations ayant développé un système d'écriture, une notation pour les nombres est apparue. La majorité de ces systèmes de numération étaient décimaux (en base 10) à l'exception notable des Babyloniens (base 60 : il nous en reste des traces dans notre manière de diviser les heures et les minutes) et des Mayas (base 20). Quelle que soit la base, le système de notation par chiffres que nous utilisons actuellement ne s'imposait aucunement. Les Babyloniens, les Égyptiens, les Grecs et les Romains avaient des notations différentes pour chaque puissance de la base. Vous connaissez sans doute la notation en chiffres romains : I pour un, V pour cinq, X pour dix, C pour cent, D pour cinq cent, M pour mille. Mais l'écriture de très grands nombres était vite limitée.

Parallèlement aux systèmes de notation des chiffres, des outils de calcul, permettant de réaliser les opérations usuelles sont également apparus très tôt. On les désigne sous le nom générique d'abaques (qui vient d'un mot grec signifiant «table à poussière»). Le principe commun est de constituer des colonnes dans lesquelles on place de petits cailloux (calculus en latin, d'où le mot «calcul») ou des jetons. Chaque colonne est associée à une puissance de dix : le nombre de jetons dans la colonne de droite indique le chiffre des unités, dans la colonne suivante le chiffre des dizaines, etc. Les bouliers sont des abaques dont les colonnes sont remplacées par des tiges le long desquelles on fait descendre les jetons. Pour passer d'un abaque à la numération de position, il fallait d'une part avoir l'idée de représenter par un symbole chacune des 9 quantités de jetons que l'on pouvait trouver dans une colonne, et aussi inventer un symbole pour noter une colonne vide. Ce passage a été effectué en Inde, semble-t-il dès les premiers siècles de notre ère. Mais noter ainsi un nombre en calquant sa représentation sur un abaque, ne signifiait pas pour autant que l'on sache effectuer des calculs sans abaque, en écrivant seulement des nombres. Il fallait pour cela accepter de considérer le symbole de la colonne vide, le zéro, comme un nombre ayant ses propres règles de calcul. Il est difficile de dater précisément l'apparition du zéro. La première trace indiscutable se trouve dans l'\oeuvre du mathématicien-astronome Aryabhata, en 499 après J.-C. On y trouve explicitement énoncée la notion de position. Voici le début de son poème, écrit en strophes de deux vers.

Ayant rendu hommage à Brahma, à la Terre, à la Lune, à Mercure, à Vénus, au Soleil, à Mars, à Jupiter, à Saturne et aux constellations, Aryabhata en la Cité des Fleurs (Pataliputra), expose comme suit les éléments de la science très vénérable.

Eka (unités), daçan (dizaines), çata (centaines), sahasra (milliers), ayuta (dix-milliers), niyuta (cent milliers), prayuta (millions), kôti (dix-millions), arbuda (cent millions), et varnda (milliards) sont, de place en place, décuples l'un de l'autre.
Brahmagupta (598-668) est l'un des plus célèbres mathématiciens-astronomes indiens. Il reprend la nomenclature des puissances de $ 10$, la pousse jusqu'à $ 10^{17}$, et ne laisse lui non plus aucun doute sur la nouveauté de la notation.
Eka, daçann, çata, sahasra, ayuta, laxa, prayuta-kôti, arbuda, abja (ou padna), kharva, nikharva, nahapadma, çanku, jahadri, anlya, madhya, parardha, sont les places ution" i gNaN="holont232;ac"multilicition de pix-en pix, C#233;taibierspour ma poatioue pua les onceens. I
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