La idea de la
estimación
por
intervalo de confianza es definir, alrededor de la
media empírica, un intervalo aleatorio (que depende de
experimentos) que contiene a
con una probabilidad alta. La
longitud de este intervalo es la que mide la exactitud de la
estimación.
Interpretación:
Como el valor de es desconocido no hay ninguna razón a
priori para que la
desviación estándar
sea conocida. Si
es desconocida, se la estima por la
desviación estándar empírica
. Esta es la razón por la cual damos dos
intervalos de
confianza. El valor de
se
obtiene a partir de un módulo de cálculo numérico. Los valores más
usados son los siguientes:
Los intervalos y
son aleatorios. Como
resultado de la sucesión de experimentos ,
y
habrán
tomado valores particulares
y
. No se podrá decir que
la probabilidad de que
pertenezca a
es de
. Tanto
como
y
son números reales
fijos y el resultado
será verdadero o falso,
pero no dependerá ya del azar. Lo que podremos decir es que este
encuadre (de
entre
y
) se obtiene como resultado
de un experimento que tenia un porcentaje alto de posibilidades de
dar un resultado verdadero. Para
, si repetimos
veces la serie de
experimentos para obtener
intervalos, podemos esperar que uno de ellos sea falso. Hay que ver un intervalo de confianza como una precisión que se da
del valor estimado de
:
Estimación de una probabilidad.
Supongamos que el valor que hay que estimar sea la probabilidad
de un evento. Se realizan una serie de experimentos
independientes anotando, cada vez, si el evento se realiza (
) o
no (0). La variable aleatoria correspondiente a el
-ésimo
experimento se denota por
. Las
siguen la
ley de
Bernoulli de parámetro
:
Volvamos a la experiencia de la
aguja de Buffon. Esta consiste en lanzar al azar una aguja sobre
un parqué. Si el ancho de las láminas de madera es igual a la
longitud de la aguja, hemos visto que la probabilidad (teórica)
para que la aguja caiga sobre 2 láminas a la vez es .
Supongamos que repetimos el experimento
veces, físicamente o
por simulación. Como resultado de las
repeticiones obtenemos
un valor para la
frecuencia experimental
y por
tanto un intervalo de confianza
. El intervalo
es también un
intervalo de confianza para el valor
de
. He aquí , por ejemplo, un
resultado obtenido con
experimentos.
Ellos corresponden a los intervalos siguientes para :