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Riesgo y potencia

Hasta aquí hemos realizado tests con una sola hipótesis de modelación ${\cal H}_0$. El único error que podía ser cuantificado consistía en rechazar ${\cal H}_0$ erróneamente. La probabilidad de este rechazo es el umbral $\alpha$ del test. No rechazar ${\cal H}_0$ significa solamente que no ha sucedido nada que nos permita ponerla en duda. Esto no significa que ${\cal H}_0$ es ''verdadera'' (las leyes de probabilidad no existen en la naturaleza). De ahora en adelante vamos a situarnos en una situación donde dos modelos están compitiendo el uno contra el otro. Los datos disponibles deberán permitirnos tomar una decisión sobre ${\cal H}_0$, con referencia a otra hipótesis ${\cal H}_1$. Decimos entonces que hacemos un test de ${\cal H}_0$ contra ${\cal H}_1$.
 

Tomemos el ejemplo de un indicador fisiológico $T$ (tasa de una cierta substancia en la sangre) la cual con un valor elevado es un síntoma de una cierta enfermedad. Como es habitual, se considerará que la tasa observada en un individuo es la realización de una cierta variable aleatoria. Supongamos que estudios anteriores han mostrado que en un sujeto sano, el valor de $T$ sigue la ley ${\cal N}(1,0.09)$, mientras que en un sujeto enfermo ella sigue la ley ${\cal N}(2,0.16)$. Si la enfermedad no es grave, y si el tratamiento comporta riesgos para el paciente, el médico decidirá favorecer la hipótesis que su paciente goza de buena salud: esa será su hipótesis nula ${\cal H}_0$. Ella será comprobada por un test unilateral a la derecha (rechazo de los valores de $T$ muy grandes). Con el umbral $\alpha=0.05$, la regla de decisión es:

   Rechazo de $${\cal H}_0\;\Longleftrightarrow\; T> l_0 = Q_{{\cal N}(1,0.09)}(0.95) = 1.493\;.$$

Se decidirá, por tanto, que el paciente está enfermo si su tasa es mayor que $l_0=1.493$. El umbral $\alpha$ mide el riesgo de rechazar ${\cal H}_0$ erróneamente (declarar enfermo a un individuo sano). Pero otro riesgo consiste en no rechazar ${\cal H}_0$ mientras que ${\cal H}_1$ es verdadera (no diagnosticar la enfermedad cuando el paciente está verdaderamente enfermo). Se denota $\beta$ la probabilidad correspondiente :

$$\beta = \mathbb {P}_{{\cal H}_1}[\,$$No rechazar $${\cal H}_0\,]\;.$$

En este caso la ley de $T$ bajo la hipótesis ${\cal H}_1$ es la ley normal ${\cal N}(2,0.16)$ y por tanto:

$$\beta = F_{{\cal N}(2,0.16)}(l_0) = 0.1027\;.$$

Rechazar ${\cal H}_0$ erróneamente es el error de primera especie y el umbral $\alpha$ es el riesgo de primera especie. No rechazar ${\cal H}_0$ erróneamente es el error de segunda especie y la probabilidad $\beta$ de este error es el riesgo de segunda especie. La probabilidad $1\!-\!\beta$ de rechazar ${\cal H}_0$ bajo ${\cal H}_1$ se llama la potencia del test.
 

Como hemos mostrado en los ejemplos, puede ser que el riesgo de segunda especie $\beta$ sea bastante importante, mientras que el umbral del test $\alpha$ se fija al definir el test. El error de primera especie es el que se elige controlar, aún cuando esto signifique no tener en cuenta el error de segunda especie. Esto induce una dissimetría en el tratamiento de las dos hipótesis. La regla de rechazo del test está definida únicamente a partir de $\alpha$ y ${\cal H}_0$. Ante dos alternativas, se tomará como ${\cal H}_0$ la hipótesis que sería más grave rechazar erróneamente.

Retomemos el ejemplo del diagnóstico, pero supongamos ahora que la enfermedad es potencialmente muy grave pero fácilmente curable. El peligro sería no detectar la enfermedad. El médico tomará como hipótesis nula la hipótesis que el paciente está enfermo.

$${\cal H}'_0\;:\; T$$ sigue la ley $${\cal N}(2,0.16)\;.$$

El test será ahora unilateral a la izquierda (rechazo de los valores muy pequeños). Al umbral $\alpha=0.05$, la regla de decisión es :

   Rechazo de $${\cal H}'_0\;\Longleftrightarrow\; T< l_1 = Q_{{\cal N}(2,0.16)}(0.05) = 1.342\;.$$

Se constata que $l_1$ es menor que $l_0$. Este test es, por tanto, diferente del anterior. Según el valor de $T$, las decisiones pueden coincidir o no.

$\bullet$

Si $T<l_1$ : se acepta ${\cal H}_0$ y se rechaza ${\cal H}'_0$, las decisiones son coherentes.

$\bullet$

Si $l_1<T<l_0$ : se aceptan ${\cal H}_0$ y ${\cal H}'_0$, resultado no interpretable.

$\bullet$

Si $T>l_0$ : rechazo de ${\cal H}_0$ y se acepta ${\cal H}'_0$, las decisiones son coherentes.

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