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Ejercicios


Nada puede reemplazar al trabajo con problemas reales para afinar ese ''sentido de los datos'' que debe tener un buen estadístico. Observar muestras simuladas con un medio de cálculo como Scilab proporciona una base experimental artificial, pero que basta para precisar las nociones más elementales. En los ejercicios que siguen, los valores propuestos para los tamaños de las muestras así como para los parámetros de las leyes, son solamente indicativos. Pueden ser variados en función de la potencia de cálculo disponible.

Ejercicio 1   Para las leyes de probabilidad $ P$ siguientes:
$ \bullet$
Leyes binomiales $ {\cal B}(4,0.5)\,,\;{\cal
B}(4,0.2)\,,\;{\cal B}(4,0.8)\,. $
$ \bullet$
Leyes sobre $ \{0,\ldots,4\}$ definidas por las probabilidades siguientes:

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert ccccc\vert}
\hline
0&1&2&3&4\\
\hl...
...0.1\\
0.9&0.025&0.025&0.025&0.025\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}

$ \bullet$
Leyes uniformes $ {\cal U}(0,1)\,,\;{\cal
U}(0,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes exponenciales $ {\cal
E}(1)\,,\;{\cal E}(0.1)\,. $
$ \bullet$
Leyes normales $ {\cal N}(0,1)\,,\;{\cal N}(10,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes gamma $ {\cal G}(10,1)\,,\;{\cal G}(100,1)\,. $
  1. Simular una muestra $ x$ de tamaño $ 1000$ de la ley $ P$. Para $ i=1,\ldots,1000$, denotamos por $ x^{(i)}$ la muestra de los $ i$ primeros valores de $ x$.
  2. Calcular y representar gráficamente los valores de la diferencia entre la media empírica $ \overline{x^{(i)}}$ y la esperanza de la ley $ P$.
  3. Idem para las diferencias entre las varianzas empíricas de las muestras $ x^{(i)}$ y la varianza teórica de la ley $ P$. Idem para las medianas y los cuartiles empíricos y teóricos.
  4. Superponer en un mismo gráfico la función de distribución de la ley $ P$ y la función de distribución empírica de la muestra $ x^{(i)}$, para $ i=100$, $ i=500$ e $ i=1000$.

Ejercicio 2   Para las leyes de probabilidad siguientes:
$ \bullet$
Leyes binomiales $ {\cal B}(4,0.5)\,,\;{\cal
B}(4,0.2)\,,\;{\cal B}(4,0.8)\,. $
$ \bullet$
Leyes sobre $ \{0,\ldots,4\}$ definidas por las probabilidades siguientes:

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert ccccc\vert}
\hline
0&1&2&3&4\\
\hl...
...0.1\\
0.9&0.025&0.025&0.025&0.025\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}

$ \bullet$
Leyes uniformes $ {\cal U}(0,1)\,,\;{\cal
U}(0,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes exponenciales $ {\cal
E}(1)\,,\;{\cal E}(0.1)\,. $
$ \bullet$
Leyes normales $ {\cal N}(0,1)\,,\;{\cal N}(10,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes Gamma $ {\cal G}(10,1)\,,\;{\cal G}(100,1)\,. $
  1. Simular $ 1000$ muestras de tamaño $ 100$ de la ley $ P$.
  2. Denotamos por $ x^*$ a la muestra de las $ 1000$ medias empíricas, centrada y reducida. Superponer en un mismo gráfico un histograma de la muestra $ x^*$ y la densidad de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$. Superponer en un mismo gráfico la función de distribución empírica de la muestra $ x^*$ y la función de distribución de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$.
  3. Idem para la muestra de las $ 1000$ varianzas empíricas, centrada y reducida.
  4. Idem para la muestra de las $ 1000$ desviaciones estándar empíricas, centrada y reducida.
  5. Idem para la muestra de las $ 1000$ medianas empíricas, centrada y reducida.

Ejercicio 3    
  1. Seleccionar dos números reales $ a$ y $ b$. Simular una muestra $ e$ de 100 elementos de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$. Sea $ x$ la muestra definida por $ x_i=ia+b+e_i$.
  2. Calcular para la muestra $ x$ las medias móviles de orden $ 1$, $ 2$ y $ 3$.
  3. Representar en un mismo gráfico la recta de ecuación $ y=ax+b$, los puntos de coordenadas $ (i,x_i)$ y los puntos $ (i,m_i^{(k)})$, donde los valores $ m_i^{(k)}$ son las medias móviles de orden $ k=1,2,3$.

Ejercicio 4   Para las leyes de probabilidad siguientes:
$ \bullet$
Leyes binomiales $ {\cal B}(4,0.5)\,,\;{\cal
B}(4,0.2)\,,\;{\cal B}(4,0.8)\,. $
$ \bullet$
Leyes sobre $ \{0,\ldots,4\}$ definidas por las probabilidades siguientes:

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert ccccc\vert}
\hline
0&1&2&3&4\\
\hl...
...0.1\\
0.9&0.025&0.025&0.025&0.025\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}

$ \bullet$
Leyes uniformes $ {\cal U}(0,1)\,,\;{\cal
U}(0,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes exponenciales $ {\cal
E}(1)\,,\;{\cal E}(0.1)\,. $
$ \bullet$
Leyes normales $ {\cal N}(0,1)\,,\;{\cal N}(10,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes gamma $ {\cal G}(10,1)\,,\;{\cal G}(100,1)\,. $
  1. Simular $ 1000$ muestras de tamaño $ 10$ de la ley $ P$. Denotaremos por $ x$ a la muestra de las $ 1000$ varianzas empíricas y por $ x^*$ la muestra de las $ 1000$ varianzas empíricas no sesgadas ( $ x_i^*=\frac{10}{9}x_i$).
  2. Calcular $ \overline{x}$, $ \overline{x^*}$ y la varianza teórica de la ley $ P$.
  3. Representar en un mismo gráfico un histograma de $ x$ y uno de $ x^*$. Representar en el mismo gráfico la varianza teórica de la ley $ P$ por un trazo vertical.

Ejercicio 5    
  1. Para $ i=1,2,3$, simular una muestra $ x^{(i)}$ de tamaño 1000 de la ley normal $ {\cal N}(i,1)$. Calcular las 3 medias y las 3 varianzas empíricas.
  2. Calcular las varianzas inter-clases e intra-clases así como la varianza de la muestra total.
  3. Hacer un histograma de la muestra total.
  4. Rehacer los mismos cálculos con 3 muestras de tamaño 1000 de las leyes $ {\cal N}(0.1,1)$, $ {\cal N}(0.2,1)$ y $ {\cal
N}(0.3,1)$.
  5. Rehacer los mismos cálculos con 3 muestras de tamaño 1000 de las leyes $ {\cal N}(10,1)$, $ {\cal N}(20,1)$ y $ {\cal N}(30,1)$.

Ejercicio 6   La función cuantil de la ley de Cauchy se define por:

$\displaystyle Q(u) = \tan(\pi u -\pi/2)\;,
$

para todo $ u\in ]0,1[$.
  1. Probar que $ Q(\alpha) = -Q(1-\alpha)$. Para $ \alpha< 0.5$, denotamos $ q_\alpha=Q(1-\alpha)$. Probar que:

    $\displaystyle \mathbb {E}[X\,\vert\,X\in ]-q_\alpha,q_\alpha]\,] = 0\;.
$

  2. Calcular $ q_{\alpha}$ para $ \alpha = 0.025, 0.005$.
  3. Simular una muestra de tamaño $ 5000$ de la ley de Cauchy. Para todo $ n$ de $ 100$ a $ 5000$ por pasos de $ 100$, calcular la media empírica así como las medias podadas bilaterales de nivel $ 0.95$ y $ 0.99$. Representar estas cantidades en un mismo gráfico y comparar.

Ejercicio 7   La ley de Pareto $ {\cal P}(a)$ tiene la función de distribución:

$\displaystyle F(x) = (1-x^{-a})\mathbb {I}_{[1,+\infty[}\;.
$

  1. ¿Cuáles son los valores de $ a$ para los que la esperanza de la ley $ {\cal P}(a)$ existe ? La misma pregunta para la varianza.
  2. Para todo $ \alpha>0$, sea $ q_\alpha=Q(1-\alpha)$ el cuantil de orden $ 1-\alpha$ de la ley $ {\cal P}(a)$. Si $ X$ sigue la ley $ {\cal P}(a)$ calcular:

    $\displaystyle \mathbb {E}[X\,\vert\,X\leq q_\alpha]\;.
$

  3. Simular una muestra de tamaño $ 5000$ de la ley $ {\cal
P}(1)$. Para todo $ n$ de $ 100$ a $ 5000$, calcular la media empírica así como las medias podadas unilaterales de nivel $ 0.95$ y $ 0.99$. Representar estas cantidades en un mismo gráfico, comparar con los valores teóricos.
  4. Retomar el inciso precedente, reemplazando la ley $ {\cal
P}(1)$ por la ley $ {\cal P}(2)$.

Ejercicio 8   Para las leyes de probabilidad siguientes:
$ \bullet$
Leyes uniformes $ {\cal U}(0,1)\,,\;{\cal
U}(0,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes exponenciales $ {\cal
E}(1)\,,\;{\cal E}(0.1)\,. $
$ \bullet$
Leyes normales $ {\cal N}(0,1)\,,\;{\cal N}(10,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes gamma $ {\cal G}(10,1)\,,\;{\cal G}(100,1)\,. $
$ \bullet$
Leyes de Student $ {\cal T}(1)\,,\;{\cal T}(100)\,. $
$ \bullet$
Leyes de Fisher $ {\cal F}(2,2)\,,\;{\cal
F}(20,20)\,. $
  1. Simular una muestra $ x$ de tamaño $ 1000$ de la ley $ P$.
  2. Para $ i=0,\ldots,20$, denotamos:

    $\displaystyle a_i=\min\{x\} + \frac{i}{20} (\max\{x\} - \min\{x\})\;.
$

    Calcular las frecuencias empíricas de las 20 clases $ [a_{i-1},a_i]$ ( $ i=1,\ldots,20$). Superponer en un mismo gráfico un histograma de estas frecuencias empíricas y la densidad de la ley $ P$.
  3. Idem si las $ a_i$ son los estadígrafos de orden de una muestra de tamaño 21 de la ley uniforme $ {\cal
U}(\min\{x\},\max\{x\})$.
  4. Idem si las $ a_i$ son los estadígrafos de orden de una muestra de tamaño 21 de la ley $ P$.

Ejercicio 9   Para las leyes de probabilidad siguientes:
$ \bullet$
Leyes binomiales $ {\cal B}(4,0.5)\,,\;{\cal
B}(4,0.2)\,,\;{\cal B}(4,0.8)\,. $
$ \bullet$
Leyes sobre $ \{0,\ldots,4\}$ definidas por las probabilidades siguientes:

\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert ccccc\vert}
\hline
0&1&2&3&4\\
\hl...
...0.1\\
0.9&0.025&0.025&0.025&0.025\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}

  1. Simular 100 muestras de tamaño 1000 de la ley $ P$. Para cada una de las 100 muestras, calcular la distancia chi-cuadrado de su distribución empírica con respecto a la distribución teórica $ P$. Sea $ x$ la muestra de tamaño 100 de los valores que toma la distancia de chi-cuadrado, multiplicados por $ 1000$.
  2. Superponer en un mismo gráfico un histograma de la muestra $ x$ y la densidad de la ley chi-cuadrado con 4 grados de libertad.
  3. Superponer en un mismo gráfico la función de distribución empírica de la muestra $ x$ y la función de distribución $ F_{{\cal
X}^2(4)}$ de la ley chi-cuadrado con 4 grados de libertad.
  4. Ajuste por cuantiles: construir el vector $ y$ de los centiles de la ley chi-cuadrado: $ \left (Q_{{\cal
X}^2(4)}(i/100)\right ) \,,\,i=1,\ldots, 99$. Representar en un mismo gráfico la nube de puntos $ (x_{(i)},y_i)$ y la primera bisectriz.

Ejercicio 10    
  1. Simular 100 muestras de tamaño $ 1000$ de la ley uniforme $ {\cal U}(0,1)$.
  2. Para cada una de las 100 muestras, calcular la distancia de Kolmogorov-Smirnov entre la distribución empírica de la muestra y la distribución teórica $ {\cal U}(0,1)$. Sea $ y$ la muestra de tamaño 100 de los valores que toma la distancia de Kolmogorov-Smirnov, multiplicados por $ \sqrt{1000}$.
  3. Se considera la función $ F_{KS}$, definida en $ ]0,+\infty[$ por:

    $\displaystyle F_{KS}(t) = 1+2\sum_{k=1}^{+\infty} (-\!1)^k e^{-2k^2t^2}\;.
$

    Para $ i=1,\ldots,100$, sea $ y'_i=F_{KS}(y_{(i)})$. Calcular una aproximación de las $ y'_i$.
  4. Sea $ x$ el vector $ (i/100)\,,\,i=1,\ldots, 100$. Representar en un mismo gráfico la nube de puntos $ (x_i,y'_i)$ y la primera bisectriz.
  5. Calcular el coeficiente de correlación lineal de $ x$ e $ y'$.

Ejercicio 11   Sean $ X$ y $ U$ dos variables aleatorias independientes de ley $ {\cal N}(0,1)$. Sea $ \rho$ un número real estrictamente comprendido entre $ -1$ y $ 1$, y $ Y=\rho X + \sqrt{1-\rho^2} U$.
  1. Demuestre que la covarianza de $ X$ e $ Y$ es $ \rho$.
  2. Para los valores de $ \rho$ entre $ -0.9$ y $ 0.9$ con paso de $ 0.3$ : simular dos muestras $ x$ y $ u$ de tamaño $ 1000$ de la ley $ {\cal N}(0,1)$ y calcule la muestra $ y$ definida por $ y_i=\rho
x_i + \sqrt{1-\rho^2} u_i$. Calcular el coeficiente de correlación lineal empírico de $ x$ e $ y$. Representar la nube de puntos de coordenadas $ (x_i,y_i)$.
  3. Rehacer los cálculos reemplazando la ley $ {\cal N}(0,1)$ por la ley uniforme $ {\cal U}(0,\sqrt{12})$.

Ejercicio 12   Seleccionar dos números reales $ a$ y $ b$. Simular una muestra $ e=(e_i)$, de tamaño $ 100$ de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$. Para todo $ i=1,\ldots,100$, ponemos $ x_i=i$ y $ y_i=ai+b+e_i$, y denotemos por $ x$ e $ y$ las muestras correspondientes.
  1. Calcular los coeficientes $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ de la recta de regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x$. Representar en un mismo gráfico los puntos de coordenadas $ (x_i,y_i)$, la recta de regresión lineal y la recta $ y=ax+b$.
  2. Rehacer los mismos cálculos para una muestra $ e$ de tamaño $ 1000$ de la ley normal $ {\cal N}(0,0.1)$.
  3. Rehacer los mismos cálculos para una muestra $ e$ de tamaño $ 100$ de la ley uniforme $ {\cal U}(0,1)$.
  4. Rehacer los mismos cálculos para una muestra $ e$ de tamaño $ 1000$ de la ley normal $ {\cal N}(0,10)$.

Ejercicio 13   Seleccionar dos números reales $ a$ y $ b$. Simular dos muestras $ x=(x_i)$ y $ e=(e_i)$, de tamaño $ 100$ de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$. Para todo $ i=1,\ldots,100$, sea $ y_i=ax_i+b+e_i$, e $ y$ la muestra correspondiente.
  1. Calcular los coeficientes $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ de la recta de regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x$. Representar en un mismo gráfico los puntos de coordenadas $ (x_i,y_i)$, la recta de regresión lineal y la recta $ y=ax+b$.
  2. Rehacer los mismos cálculos para una muestra $ x$ de tamaño 100 de la ley normal $ {\cal N}(0,10)$ y una muestra $ e$ de tamaño $ 100$ de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$.
  3. Rehacer los mismos cálculos para una muestra $ x$ de tamaño 100 de la ley normal $ {\cal N}(0,0.1)$ y una muestra $ e$ de tamaño $ 100$ de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$.
  4. Retomar los incisos precedentes reemplazando los tamaños de las muestras por $ 1000$.

Ejercicio 14   Para las leyes de probabilidad $ P$ siguientes:
$ \bullet$
Leyes uniformes $ {\cal U}(0,1)\,,\;{\cal
U}(0,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes exponenciales $ {\cal
E}(1)\,,\;{\cal E}(0.1)\,. $
$ \bullet$
Leyes normales $ {\cal N}(0,1)\,,\;{\cal N}(10,100)\,. $
$ \bullet$
Leyes gamma $ {\cal G}(10,1)\,,\;{\cal G}(100,1)\,. $
$ \bullet$
Leyes de Student $ {\cal T}(1)\,,\;{\cal T}(100)\,. $
$ \bullet$
Leyes de Fisher $ {\cal F}(2,2)\,,\;{\cal
F}(20,20)\,. $
  1. Simular una muestra $ x$ de tamaño $ 1000$ de la ley $ P$.
  2. Superponer en un mismo gráfico un histograma de la muestra obtenida y la densidad de la ley $ P$.
  3. Superponer en un mismo gráfico la función de distribución empírica de la muestra y la función de distribución $ F_{P}$ de la ley $ P$.
  4. Ajuste por cuantiles: formar el vector $ y$, de las imágenes por la función cuantil $ Q_{P}$ de los valores $ (i/1000)\,,\,i=1,\ldots, 999$. Representar en un mismo gráfico la nube de puntos $ (x_{(i)},y_i)$ y la primera bisectriz.
  5. Calcular la distancia de Kolmogorov-Smirnov de la ley empírica de la muestra $ x$ a la ley $ P$.

Ejercicio 15   Para las leyes de probabilidad $ P$ siguientes:
$ \bullet$
Leyes binomiales $ {\cal B}(30,0.5)\,,\;{\cal
B}(30,0.1)\,,\;{\cal B}(30,0.9) \,,\;{\cal B}(100,0.1)\,,\;{\cal
B}(100,0.9)\;. $
$ \bullet$
Leyes de Poisson $ {\cal
P}(30)\,,\;{\cal P}(100)\,. $
$ \bullet$
Leyes de Student $ {\cal T}(10)\,,\;{\cal T}(30)\,,\;{\cal T}(100)\,. $
$ \bullet$
Leyes gamma $ {\cal G}(10,1)\,,\;{\cal
G}(30,1)\,,\; {\cal G}(100,1)\,. $
  1. Simular una muestra de tamaño $ 100$ de la ley $ P$. Sea $ y$ la muestra formada por los primeros $ 99$ estadígrafos de orden de los valores simulados. Sea $ x=(Q_{{\cal
N}(0,1)}(i/100))\,,\,i=1,\ldots,99$, el vector de los centiles de la ley $ {\cal N}(0,1)$.
  2. Calcular $ \overline{x}$, $ s_x^2$, $ \overline{y}$, $ s_y^2$, $ c_{xy}$, $ r_{xy}$.
  3. Calcular los coeficientes $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ de la recta de regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x$. Representar la nube de puntos $ (x_i,y_i)$ y la recta de regresión lineal en un mismo gráfico.
  4. Comparar los valores repectivos de $ \widehat{b}$ y $ \widehat{a}$ con la esperanza y la desviación estándar de la ley $ P$.
  5. Representar sobre un mismo gráfico un histograma de la muestra $ y$ y la densidad de la ley normal con la misma esperanza y la misma varianza que la ley $ P$.

Ejercicio 16   Seleccionar dos números reales $ c$ y $ d$ tales que $ c<d$. Simular una muestra de tamaño $ 100$ de la ley uniforme $ {\cal U}(c,d)$. Sean $ y$ la muestra de los estadígrafos de orden de los valores simulados y $ x=(i/100)\,,\,i=1,\ldots,100$.
  1. Calcular $ \overline{x}$, $ s_x^2$, $ \overline{y}$, $ s_y^2$, $ c_{xy}$, $ r_{xy}$.
  2. Calcular los coeficientes $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ de la recta de regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x$. Representar la nube de puntos $ (x_i,y_i)$ y la recta de regresión lineal en un mismo gráfico.
  3. Comparar los valores de $ \widehat{b}$ y $ \widehat{a}$ con $ c$ y $ d\!-\!c$.

Ejercicio 17   Seleccionar dos números reales $ \mu$ y $ \sigma>0$. Simular una muestra de tamaño $ 100$ de la ley normal $ {\cal
N}(\mu,\sigma^2)$. Sea $ y$ la muestra de los $ 99$ primeros estadígrafos de orden de los valores simulados. Sea $ x=(Q_{{\cal
N}(0,1)}(i/100))\,,\,i=1,\ldots,99$, el vector de los centiles de la ley $ {\cal N}(0,1)$.
  1. Calcular $ \overline{x}$, $ s_x^2$, $ \overline{y}$, $ s_y^2$, $ c_{xy}$, $ r_{xy}$.
  2. Calcular los coeficientes $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ de la recta de regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x$. Representar la nube de puntos $ (x_i,y_i)$ y la recta de regresión lineal en un mismo gráfico.
  3. Comparar los valores de $ \widehat{b}$ y $ \widehat{a}$ con $ \mu$ y $ \sigma$.

Ejercicio 18   Seleccionar dos números reales $ c>0$ y $ \lambda>0$. Simular una muestra de tamaño $ 100$ de la ley de Weibull $ {\cal
W}(c,\lambda)$. Sea $ y = (\log(e_{(i)})\,,\,i=1,\ldots,99$, donde los $ e_{(i)}$ son los $ 99$ primeros estadígrafos de orden de los valores simulados. Sea $ x=(\log(-\log(1-i/100)))\,,\,i=1,\ldots,99$.
  1. Calcular $ \overline{x}$, $ s_x^2$, $ \overline{y}$, $ s_y^2$, $ c_{xy}$, $ r_{xy}$.
  2. Calcular los coeficientes $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ de la recta de regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x$. Representar la nube de puntos $ (x_i,y_i)$ y la recta de regresión lineal en un mismo gráfico.
  3. Comparar los valores de $ \widehat{a}$ y $ \widehat{b}$ con $ (1/c)$ y $ (1/c)\log(1/\lambda)$ respectivamente.

Ejercicio 19   Seleccionar tres números reales $ a_0$, $ a_1$ y $ a_2$. Simular dos muestras $ x^{(1)}$ y $ x^{(2)}$ de tamaño $ 1000$ de la ley normal $ {\cal N}(0,100)$, y una muestra $ e$ de tamaño $ 1000$ de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$. Sea $ y=(y_i)$ la muestra definida para $ i=1,\ldots,100$ por $ y_i=a_0+a_1x^{(1)}_i+a_2x^{(2)}_i +e_i$.
  1. Calcular los coeficientes de la regresión lineal de $ y$ con respecto a $ x^{(1)}$ y $ x^{(2)}$, y comparar con $ a_0$, $ a_1$ y $ a_2$.
  2. Representar la nube de puntos $ (x_i^{(1)},x_i^{(2)},y_i)$.

Ejercicio 20   Seleccionar tres números reales $ a_0$, $ a_1$ y $ a_2$. Simular una muestra $ x$ de tamaño $ 1000$ de la ley normal $ {\cal N}(0,100)$, y una muestra $ e$ de tamaño $ 1000$ de la ley normal $ {\cal N}(0,1)$. Sea $ y=(y_i)$ la muestra definida para $ i=1,\ldots,100$ por $ y_i=a_0+a_1x_i+a_2x_i^2 + e_i$.
  1. Calcular los coeficientes de las regresiones polinomiales de grados $ 2$, $ 3$ y $ 4$, y comparar con $ a_0$, $ a_1$ y $ a_2$.
  2. representar la nube de puntos $ (x_i,y_i)$ y la curva de ecuación $ y=a_0+a_1x+a_2x^2$ en un mismo gráfico.
  3. Seleccionar $ 4$ reales $ a_0$, $ a_1$, $ a_2$ y $ a_3$, y rehacer los mismos cálculos para la muestra $ y=(y_i)$ definida por $ y_i=a_0+a_1x_i+a_2x_i^2+a_3x_i^3+ e_i$.

Ejercicio 21   Simular dos muestras independientes, $ m=(m_i)$ y $ u=(u_i)$, de tamaño $ 1000$ de la ley de Bernoulli $ {\cal
B}(1,0.1)$. Sea $ \rho$ un real comprendido estrictamente entre 0 y $ 1$. Sea $ e=(e_i)$ una muestra de la ley de Bernoulli de parámetro $ \rho$. Se construye una muestra $ s$ de la siguiente manera: para $ i=1,\ldots,1000$, si $ e_i=0$ entonces $ s_i=m_i$, si no $ s_i=u_i$. Hacer los cálculos que siguen para cada uno de los casos: $ \rho = 0.01, 0.1, 0.5, 0.9, 0.99$.
  1. Calcular la tabla de contingencia del par $ (s,m)$.
  2. Calcular la sensibilidad, la especificidad y el valor positivo predictivo de $ s$ para $ m$.
  3. Calcular el cociente de apuestas de $ m$ con respecto a $ s$.
  4. Rehacer los cálculos precedentes para la siguiente regla de simulación: si $ e_i=0$ entonces $ s_i=m_i$, si no, $ s_i=1-m_i$.

Ejercicio 22   Simular dos muestras independientes, $ x=(x_i)$ y $ u=(u_i)$, de tamaño $ 1000$ de la ley binomial $ {\cal B}(5,0.3)$. Sea $ \rho$ un real comprendido estrictamente entre 0 y $ 1$. Sea $ e=(e_i)$ una muestra de la ley de Bernoulli de parámetro $ \rho$. Se construye la muestra $ y$ de la siguiente manera: para $ i=1,\ldots,1000$, si $ e_i=0$ entonces $ y_i=u_i$, si no, $ y_i=x_i$. Hacer los cálculos que siguen para cada uno de los casos: $ \rho = 0.01, 0.1, 0.5, 0.9, 0.99$.
  1. Calcular la tabla de contingencia del par $ (x,y)$.
  2. Calcular la tabla de los perfiles-fila y los perfiles-columna.
  3. Calcular la distancia del chi-cuadrado de contingencia de esta tabla.



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