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Variables aleatorias continuas

Definición 3.6   Sea $X$ una variable aleatoria con valores en $\mathbb {R}$ y $f_X$ una densidad de probabilidad sobre $\mathbb {R}$. Se dice que $X$ es una variable aleatoria continua de densidad $f_X$ si para todo intervalo $A$ de $\mathbb {R}$ se tiene:

$$\mathbb {P}[X\in A] = \int_A f_X(x)\,dx\;.$$

La ley de la variable aleatoria $X$ es la ley continua sobre $\mathbb {R}$, de densidad $f_X$.

Para determinar la ley de una variable aleatoria continua, hay que calcular su densidad. De manera equivalente, la ley de una variable continua se determina dando la probabilidad de que ella pertenezca a un intervalo $I$ cualquiera. Es lo que hemos hecho para nuestro ejemplo de base, el llamado a Random, que es una variable aleatoria continua, de densidad $\mathbb {I}_{[0,1]}$. Una variable aleatoria continua $X$ de densidad $f_X$, cae entre $a$ y $b$ con una probabilidad igual a :

$$\mathbb {P}[a<X < b]=\int_{a}^b\,f_X(x)\,dx\;.$$

Mientras más grande sea la densidad $f_X$ en un segmento, mayores serán las probabilidades de que $X$ caiga en ese segmento, lo cual justifica el término ``densidad''.

Como ya hemos observado para Random, la probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga en un punto cualquiera es nula.

$$\mathbb {P}[X=a] = \int_{\{a\}} f_X(x)\,dx = 0\;.$$

En consecuencia:

$$\mathbb {P}[\,X\in [a,b]\,] =\mathbb {P}[\,X\in [a,b[\,]=\mathbb {P}[\,X\in ]a,b]\,] =\mathbb {P}[\,X\in ]a,b[\,] \;.$$

Observemos también que el modificar una densidad en un número finito o numerable de puntos, no cambia de las integrales sobre los segmentos y en consecuencia la ley de probabilidad asociada tampoco cambia. El valor que toma la densidad en un punto particular, no es importante. Por ejemplo Random tiene como densidad a $\mathbb {I}_{[0,1]}$ pero da lo mismo usar $\mathbb {I} _{]0,1[}$. Como en los casos discretos, debemos conocer algunos ejemplos básicos. Las densidades se dan en un punto cualquiera de $\mathbb {R}$.

Ley uniforme.

La ley uniforme sobre un intervalo es la ley de ``sorteos al azar'' en un intervalo. Si $a<b$ son dos números reales, la ley uniforme sobre el intervalo $[a,b]$ se denota por ${\cal U}(a,b)$. Ella tiene por densidad a la función:

$$\frac{1}{b-a}\mathbb {I}_{[a,b]}(x)\;.$$

Random es una variable aleatoria de ley uniforme ${\cal U}(0,1)$.

Ley exponencial.

Las leyes exponenciales modelan intervalos de tiempo o duraciones aleatorias, como la vida de una partícula en física. La ley exponencial de parámetro $\lambda>0$ se denota por ${\cal E}(\lambda )$. Ella tiene por densidad a la función:

$$\lambda e^{-\lambda x}\mathbb {I}_{\mathbb {R}^+}(x)\;.$$

Ley normal.

La ley normal, ley de Gauss o Laplace-Gauss es la más célebre de las leyes de probabilidad. Su éxito y su omnipresencia en las ciencias de la vida vienen del Teorema del Límite Centrado que estudiaremos más adelante. La ley normal de parámetros $\mu\in \mathbb {R}$ y $\sigma^2\in\mathbb {R}^+$ se denota por ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$. Ella tiene por densidad a la función:

$$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;.$$

Las leyes exponenciales y normales constituyen el núcleo de las familias de leyes clásicas que se encuentran mas frecuentemente en estadística.

Ley de Weibull.

La ley de Weibull de parámetros $a>0$ y $\lambda>0$, denotada por ${\cal W}(a,\lambda)$, tiene por densidad:

$$a\lambda x^{a-1} e^{-\lambda x^a}\,\mathbb {I}_{\mathbb {R}^{+*}}(x)\;.$$

Se la emplea como modelo de duración aleatoria, principalmente en fiabilidad (duración de funcionamiento sin roturas, duración de reparación). La ley ${\cal W}(1,\lambda)$ es la ley ${\cal E}(\lambda )$.

Ley gamma.

La ley gamma de parámetros $a>0$ y $\lambda>0$, denotada por ${\cal G}(a,\lambda)$ tiene por densidad:

$$\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}x^{a-1} e^{-\lambda x} \,\mathbb {I}_{\mathbb {R}^{+*}}(x)\;,$$

donde $\Gamma$ es la ``función gamma'', definida por $\Gamma(a) = \int_0^{+\infty} e^{-x} x^{a-1}\,dx$. Para $n$ entero, $a=n/2$ y $\lambda=1/2$, la ley ${\cal G}(n/2,1/2)$ es llamada ley de chi cuadrado con $n$ grados de libertad y se denota por ${\cal X}^2(n)$. Esta es la ley de la suma de los cuadrados de $n$ variables aleatorias independientes de ley ${\cal N}(0,1)$, se emplea para las varianzas empíricas de muestras gaussianas. La ley ${\cal G}(1,\lambda)$ es la ley exponencial ${\cal E}(\lambda )$.

Ley beta.

La ley beta de parámetros $a>0$ y $b>0$, denotada por ${\cal B}(a,b)$ tiene por densidad:

$$\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}\mathbb {I}_{]0,1[}(x)\;.$$

Esta familia de leyes nos provee de modelos no uniformes para variables aleatorias acotadas. Si unas variables aleatorias independientes siguen la ley uniforme ${\cal U}(0,1)$, sus estadígrafos de orden (valores reordenadas) siguen leyes beta.

Ley log-normal.

La ley log-normal ${\cal LN}(\mu,\sigma^2)$ es la ley de una variable aleatoria, de valores positivos, cuyo logaritmo sigue la ley ${\cal N}(\mu,\sigma^2)$. Ella tiene por densidad a la función:

$$\frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\log(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}} \,\mathbb {I}_{\mathbb {R}^{+*}}(x)\;.$$

En medicina, numerosos parámetros fisiológicos son modelados empleando leyes log-normales.

Ley de Student.

La ley de Student con $n$ grados de libertad, ${\cal T}(n)$, es la ley de la relación $X/\sqrt{Y/n}$, donde las variables aleatorias $X$ e $Y$ son independientes, $X$ de ley ${\cal N}(0,1)$, $Y$ de ley ${\cal X}^2(n)$. Ella tiene por densidad a la función:

$$\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \Big(1+\frac{x^2}{n}\Big)^{-\frac{n+1}{2}}\;.$$

Se la utiliza para estudiar la media empírica de una muestra gaussiana.

Ley de Fisher.

La ley de Fisher de parámetros $m$ y $n$ (enteros positivos) es la ley de la relación $(X/n)/(Y/m)$, donde $X$ e $Y$ son dos variables aleatorias independientes de leyes ${\cal X}^2(n)$ y ${\cal X}^2(m)$ respectivamente. Ella tiene por densidad a la función:

$$n^{\frac{n}{2}} m^{\frac{m}{2}} \frac{\Gamma\left(\frac{n+m}{2}\r... ...-1+\frac{n}{2}} (m+nx)^{-\frac{n+m}{2}}\,\mathbb {I}_{\mathbb {R}^{+*}}(x)\;.$$

Se la emplea para comparar las varianzas de muestras gaussianas.
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