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Intervalos de dispersión

El error cuadrático mide la concentración de un estimador alrededor del valor del parámetro. Los intervalos de dispersión son otro medio para medir la mayor o menor concentración de una ley de probabilidad. Ellos se escriben con la ayuda de la función cuantil. Si $T$ es una variable aleatoria, la función cuantil de su ley es la función $Q_T$ de $[0,1]$ en $\mathbb {R}$ que a $u\in [0,1]$ asocia:

$$Q_T(u) = \inf\{t$$ t.q. $$\mathbb {P}[T\leq t]\geq u\}\;.$$

Definición 1.9   Sean $T$ una variable aleatoria y $\alpha$ un número real entre 0 y $1$. Llamamos intervalo de dispersión de nivel $1\!-\!\alpha$ a todo intervalo de la forma:

$$[\,Q_T(\beta),Q_T(1-\alpha+\beta)\,]\;,$$   con $$0\leq \beta\leq \alpha\;.$$

En estadística, los números reales $\alpha$ entre 0 y $1$ son una tradición. La misma tradición hace que se les asigne prioritariamente los valores $0.05$ y $0.01$, menos frecuentemente $0.02$, $0.005$ o $0.001$. Debemos ver a $\alpha$ como ``una proporción débil'', y a $1\!-\!\alpha$ como ``una proporción fuerte''. Un intervalo de dispersión de nivel $1\!-\!\alpha$ para $T$ es uno tal que, $T$ pertenece a ese intervalo con probabilidad $1\!-\!\alpha$. Por lo tanto, él contiene una fuerte proporción de los valores que tomará $T$, aún cuando sea mucho más pequeño que el soporte de la ley.

Según los valores que demos a $\beta$, diremos que un intervalo de dispersión de nivel $1\!-\!\alpha$ es:

$\bullet$

unilateral inferior si $\beta=0$,

$\bullet$

unilateral superior si $\beta=\alpha$,

$\bullet$

simétrico si $\beta=\alpha/2$,

$\bullet$

optimal si su longitud es la más corta entre las de todos los intervalos de dispersión de nivel $1\!-\!\alpha$.

Determinar un intervalo de dispersión optimal requiere en general un cálculo numérico particular, salvo en el caso en que la ley es simétrica, como una la ley normal o una ley de Student. Decimos que la ley de $T$ es simétrica si para todo $u\in [0,1]$,

$$Q_T(u) - Q_T(0.5) = Q_T(0.5) - Q_T(1-u)\;.$$

Se demuestra que si la ley de $T$ es simétrica, entonces el intervalo de dispersión simétrico es optimal.

La noción de consistencia se traduce en términos de intervalos de dispersión de la manera siguiente.

Proposición 1.10   Sea $(T_n)$ un estimador del parámetro $\theta$. El estimador $(T_n)$ es consistente si y sólo si para todo $(\alpha,\beta)$, con $0<\beta<\alpha$, y para todo $\varepsilon >0$, el intervalo de dispersión $[\,Q_{T_n}(\beta),Q_{T_n}(1-\alpha+\beta)\,]$ está incluido dentro del intervalo $[\theta-\varepsilon , \theta+\varepsilon]$ a partir de un cierto $n$.

Demostración: Decir que un estimador $T_n$ es consistente, es decir que la probabilidad de que $T_n$ pertenezca al intervalo $[\theta-\varepsilon , \theta+\varepsilon]$ tiende a $1$ cuando el tamaño $n$ de la muestra tiende a infinito. Si $\beta$ es diferente de 0, existe un $n_0$ tal que para $n$ mayor que $n_0$, la probabilidad que $T_n$ sea menor que $\theta-\varepsilon$, es menor que $\beta$. Esto equivale a decir que $\theta-\varepsilon$ es menor que $Q_{T_n}(\beta)$. Igualmente, si $\alpha\!-\!\beta$ es diferente de 0, existe un $n_1$ tal que para $n$ mayor que $n_1$, la probabilidad que $T_n$ sea menor que $\theta+\varepsilon$, es mayor que $1\!-\!\alpha\!+\!\beta$. Esto equivale a decir que $\theta+\varepsilon$ es mayor que $Q_{T_n}(1-\alpha+\beta)$. Por lo tanto, para $n$ mayor que $n_0$ y $n_1$, el intervalo de dispersión $[\,Q_{T_n}(\beta),Q_{T_n}(1-\alpha+\beta)\,]$ está incluido en el intervalo $[\theta-\varepsilon , \theta+\varepsilon]$.

Recíprocamente, si $[\,Q_{T_n}(\beta),Q_{T_n}(1-\alpha+\beta)\,]$ está incluido en $[\theta-\varepsilon , \theta+\varepsilon]$ a partir de un cierto $n$, entonces la probabilidad que $T_n$ esté comprendido entre $\theta-\varepsilon$ y $\theta+\varepsilon$ es mayor que $1-\alpha$. Como esto es cierto para todo $\alpha>0$, esta probabilidad tiende a $1$. $\square$

Retomemos, como de ejemplo, el estimador $T''_n$ para la ley uniforme ${\cal U}(0,\theta)$; es decir el del valor máximo de la muestra. Su función cuantil es la función que a $u\in [0,1]$ asocia:

$$Q_{T''_n}(u) = \theta\,u^{1/n}\;.$$

Para $\alpha$ y $\beta\leq \alpha$ fijos, el intervalo de dispersión $[\,Q_{T''_n}(\beta),Q_{T''_n}(1-\alpha+\beta)\,]$ tiene por longitud:

$$\theta(1-\alpha+\beta)^{1/n}-\theta\beta^{1/n}\;.$$

Encontramos que el intervalo de dispersión optimal coincide con el intervalo de dispersión unilateral superior ( $\beta=\alpha$). El extremo izquierdo es $\theta \alpha^{1/n}$, el extremo derecho es $\theta$. Presentamos algunos valores para la cantidad $\alpha^{1/n}$, la cual tiende a $1$ cuando $n$ tiende a infinito.

$n\ddots \alpha$	0.05	0.01	0.001
10	0.741	0.631	0.501
100	0.970	0.955	0.933
1000	0.997	0.995	0.993

Cuando la ley de la variable aleatoria $T$ es discreta, la noción de intervalo de dispersión contiene una cierta ambigüedad. Consideremos por ejemplo, la ley binomial ${\cal B}(10,0.6)$. Estos son los valores de su función de distribución.

$i$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$F(i)$	0.000	0.002	0.012	0.055	0.166	0.367	0.618	0.833	0.954	0.994	1

Fijemos $1\!-\!\alpha=0.9$. En todo rigor, el valor de la función cuantil en el punto $0.9$ es $7$. El intervalo $[0,7]$ debería ser por tanto un intervalo de dispersión de nivel $0.9$ para la ley ${\cal B}(10,0.6)$. Sin embargo su probabilidad es solamente $0.833$. En los cálculos que emplean los intervalos de dispersión, siempre se aplica un principio de precaución, que consiste en garantizar el nivel. Calificaremos de intervalo de dispersión de nivel $1\!-\!\alpha$ a los intervalos cuya probabilidad es mayor o igual que $1\!-\!\alpha$. Este principio nos lleva a modificar la definición 1.9 para las leyes discretas con valores en $\mathbb {N}$, reemplazando el extremo derecho $Q_T(1-\alpha+\beta)$ por $1+Q_T(1-\alpha+\beta)$. La tabla siguiente nos da una lista de intervalos de dispersión de nivel $\geq 0.9$, con sus probabilidades exactas, para la ley ${\cal B}(10,0.6)$.

Intervalo	$[0,8]$	$[1,8]$	$[2,8]$	$[3,8]$	$[4,9]$	$[4,10]$
Probabilidad	0.954	0.954	0.952	0.941	0.939	0.945

Hay dos intervalos de amplitud mínima, $[3,8]$ y $[4,9]$. Seleccionaremos aquel cuya probabilidad es mayor, es decir $[3,8]$. La figura 2 representa, en función de $p$, los intervalos de dispersión optimales, en el sentido que hemos definido, para la ley binomial ${\cal B}(10,p)$, así como los intervalos de dispersión simétricos.

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