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Estimadores y estimaciones

Suponemos que una familia de leyes, que depende de un parámetro desconocido $\theta$, ha sido seleccionada. Ahora es de la muestra, y sólo de ella, que se puede extraer la información. Se llama estimador del parámetro $\theta$ a toda función de la muestra, que toma valores en el conjunto de los valores posibles de $\theta$. Evidentemente esta definición, un poco vaga, esconde la idea que los valores que tome el estimador estarán cercanos al valor $\theta$ que se busca, el cual es, y continuará siendo, desconocido.

Es importante distinguir entre los valores aleatorios, asociados a la modelación, y sus realizaciones, identificadas a los datos. Una muestra (teórica) es una $n$-tupla de variables aleatorias independientes $(X_1,\ldots,X_n)$, que siguen una misma ley $P_\theta$. Para estimar $\theta$, se propone un estimador en función de la muestra:

$$T = \tau(X_1,\ldots,X_n)\;.$$

$T$ es también una variable aleatoria. La selección del modelo y del estimador $T$ está desconectada de la recolección de los datos. Es, en cierta forma, una planificación que se hace antes de realizar las observaciones y que podrá servir a varias muestras que se recojan del mismo fenómeno.

Una vez que se selecciona el modelo, se considerará a una $n$-tupla de datos $(x_1,\ldots,x_n)$ como una realización de las variables aleatorias $(X_1,\ldots,X_n)$. El valor (real) que toma $T$:

$$\widehat{\theta}=\tau(x_1,\ldots,x_n)\;,$$

es la estimación del parámetro (a partir de la muestra observada).

Tomemos el ejemplo simple de una moneda de la cual ignoramos si está adulterada o no. La probabilidad de caer sobre ''cara'' es el parámetro desconocido $\theta=p$. Nos proponemos realizar $10$ lanzamientos de la moneda, lo que modelaremos por una muestra de tamaño $10$ de la ley de Bernoulli de parámetro $p$. El número de ''caras'' obtenido en los $10$ lanzamientos es una variable aleatoria que sigue la ley binomial ${\cal B}(10,p)$. El cociente entre esta variable aleatoria y $10$ (la frecuencia) es un estimador de $p$. Realicemos ahora los $10$ lanzamientos de la moneda denotando cada vez por $1$ si ha salido ''cara'', y 0 si no. Una realización de la muestra es por ejemplo:

$$0\;,\;1\;,\;1\;,\;0\;,\;1\;,\;1\;,\;1\;,\;0\;,\;0\;,\;1\;.$$

Para esta realización, la frecuencia empírica toma el valor $0.6$, el cual propondremos como estimación de $p$. Evidentemente, $10$ nuevos lances de la misma moneda podrán conducir a una realización diferente de la muestra y a otra estimación de $p$.

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