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Utilisation des transformées de Laplace

La transformée de Laplace fournit une méthode générale de résolution des équations différentielles. Même si cette méthode n'est pas infaillible, il est bon de la connaître car elle est souvent utilisée dans les applications aux modèles dynamiques. La raison en est qu'elle s'adresse de manière privilégiée à des fonctions définies sur $ \mathbb {R}^+$. Nous donnons sans démonstration les propriétés les plus classiques.

Définition 17.5.1   Soit $ f$ une fonction continue de $ \mathbb {R}^+$ dans $ \mathbb {R}^d$. On appelle transformée de Laplace de $ f$, et on note $ {\cal L}f$ la fonction qui à $ s$ associe :

$\displaystyle {\cal L}f(s) = \int_0^{+\infty} e^{-st} f(t)\,dt\;,
$

si cette intégrale converge.

Pour assurer la convergence de l'intégrale, nous introduisons la définition suivante.

Définition 17.5.2   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb {R}^+$ dans $ \mathbb {R}$. On dit que $ f$ est à croissance au plus exponentielle s'il existe deux constantes $ M_f\in \mathbb {R}^+$ et $ r_f\in \mathbb {R}$ telles que pour tout $ t\geq 0$ :

$\displaystyle \vert f(t)\vert \leq M_f\,e^{r_f t}\;.
$

La plupart des fonctions que l'on rencontre en pratique sont à croissance au plus exponentielle. Par exemple, si $ f$ est le produit de $ e^{rt}$ par un polynôme, alors $ f$ est à croissance au plus exponentielle.

Proposition 17.5.3   Si $ f$ est à croissance au plus exponentielle, alors $ {\cal L}f$ est définie, continue, et même indéfiniment dérivable sur l'intervalle ouvert $ ]r_f,+\infty[$. Pour tout $ s >r_f$ et pour tout $ n$, on a :

$\displaystyle \frac{d^n}{ds^n}{\cal L}f(s) = (-1)^n{\cal L}(t^nf(t))(s)\;.
$

La transformée de Laplace d'une fonction caractérise cette fonction : si les transformées de Laplace de deux fonctions coïncident sur un intervalle ouvert de $ \mathbb {R}$, alors les deux fonctions sont égales. Il est immédiat de vérifier que la transformée de Laplace est linéaire. Si $ f$ et $ g$ sont deux fonctions de $ \mathbb {R}^+$ dans $ \mathbb {R}$, et $ \alpha,\beta$ sont deux réels, alors la transformée de Laplace de $ \alpha f+\beta g$ est $ \alpha{\cal L}f + \beta{\cal L}g$, partout où $ {\cal L}f$ et $ {\cal L}g$ sont définies. Outre la linéarité, l'intérêt des transformées de Laplace pour la résolution des équations différentielles réside dans la propriété suivante.

Proposition 17.5.4   Si $ f$, à croissance au plus exponentielle, est $ n$ fois dérivable sur $ \mathbb {R}^{+*}$, $ n$ fois dérivable à droite en 0, de dérivée $ n$-ième continue, alors la transformée de Laplace de $ f^{(n)}$ est définie pour tout $ s >r_f$, et vaut :

$\displaystyle {\cal L}f^{(n)}(s) = s^n {\cal L}f(s)-s^{n-1} f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots-
sf^{(n-2)}(0) - f^{(n-1)}(0)\;.
$

En prenant la transformée de Laplace d'une équation différentielle, on la ramène à une équation ordinaire. Par exemple pour le système linéaire (17.3.5) :

$\displaystyle s{\cal L}Y(s) - Y(0) = A{\cal L}Y(s)
\;\Longleftrightarrow\;{\cal L}Y(s) = (sI_d-A)^{-1} Y(0)\;.
$

La matrice $ (sI_d-A)^{-1}$ a pour coefficients des fractions rationnelles en $ s$ dont le dénominateur est le polynôme caractéristique de $ A$ (déterminant de $ (sI_d-A)$).

Pour l'équation linéaire (17.4.6) on obtient :

$\displaystyle (s^d-a_{d-1}s^{d-1}-\cdots-a_1s-a_0){\cal L}y(s) = P(s)\;,
$

$ P(s)$ est un polynôme de degré au plus $ d\!-\!1$ en $ s$ dont les coefficients dépendent des conditions initiales $ y(0),\ldots,y^{(d-1)}(0)$. La transformée de Laplace de $ y$ est donc une fraction rationnelle, et son dénominateur s'annule pour les zéros de l'équation caractéristique (17.4.7).

Obtenir la transformée de Laplace de la solution d'une équation différentielle est souvent assez facile. Il est beaucoup plus difficile de revenir à la fonction cherchée. Il n'y a pas de formule explicite simple donnant $ f$ en fonction de $ {\cal L}f$. Avant les logiciels de calcul, on devait utiliser des tables. Certaines étaient des livres de plus de 500 pages. De nos jours, les logiciels connaissent les formules classiques et savent inverser les transformées de Laplace quand c'est possible. A titre d'exemple nous donnons ci-dessous une table très rudimentaire.


\begin{displaymath}
\begin{array}{\vert c\vert c\vert}
\hline
f(t)&{\cal L}f(s)\...
...s^2+\lambda^2)\\
\hline
t^k&k!/s^{k+1}\\
\hline
\end{array}\end{displaymath}


Ceci peut suffire à résoudre certaines équations simples.

Exemple : Soit à résoudre :

$\displaystyle y''(t) = 3y'(t)-2y(t)+e^t\;,
$

avec les conditions initiales $ y(0)=1$, $ y'(0)=0$.

Le passage à la transformée de Laplace donne :

$\displaystyle (s^2-3s+2){\cal L}y(s) -s+3 = 1/(s-1)\;,
$

soit :

$\displaystyle {\cal L}y(s) = \frac{s^2-4s+4}{(s^2-3s+2)(s-1)} = \frac{s-2}{(s-1)^2}
= \frac{-1}{(s-1)^2}+\frac{1}{s-1}\;.
$

La transformée de Laplace inverse d'une fraction rationnelle décomposée en éléments simples s'obtient facilement :

$\displaystyle y(t) = -te^t + e^t = (1-t)e^t\;.
$

Même si on n'obtient pas explicitement la solution, la transformée de Laplace donne des renseignements importants sur cette solution, en particulier sur son comportement asymptotique.

Proposition 17.5.5   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb {R}^+$ dans $ \mathbb {R}$. Elle converge à l'infini si et seulement si $ s{\cal L}f(s)$ converge quand $ s$ tend vers 0. Si c'est le cas :

$\displaystyle \lim_{t\rightarrow\infty} f(t)\;=\;\lim_{s\rightarrow 0} s{\cal L}f(s)\;.
$



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