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Polynôme caractéristique

Rappelons qu'un scalaire $\lambda$ est valeur propre si et seulement si le déterminant de la matrice $A-\lambda I$ est nul. On commencera donc par calculer ce déterminant, appelé polynôme caractéristique.

Définition 12.3.1   On appelle polynôme caractéristique de la matrice $A$ le polynôme en $\lambda$ :

$$P_A(\lambda) = det(A-\lambda I) = \left\vert \begin{array}{... ...}&\ldots&a_{n,n-1}&(a_{n,n}-\lambda) \end{array}\right\vert\;.$$

Le polynôme caractéristique est un polynôme de degré $d$ en $\lambda$, dont les coefficients dépendent des $a_{i,j}$.

$$P_A(\lambda) = (-1)^d \lambda^d + (-1)^{d-1}tr(A)\lambda^{d-1}+\cdots+ det(A)\;.$$

Cependant, on n'a pas intérêt à le développer. En effet le but est de trouver ses racines, qui sont les valeurs propres. On cherchera donc plutôt à factoriser $P_A(\lambda)$.

Si on travaille dans $\mathbb {R}$, il peut se faire que le polynôme n'ait pas que des racines réelles, auquel cas la matrice ne sera pas diagonalisable dans $\mathbb {R}$. Dans $\mathbb {C}$, par contre, tout polynôme est scindé, c'est à dire qu'il admet $d$ racines, si on les compte avec leur multiplicité. Nous supposerons désormais que $P_A(\lambda)$ est scindé, et qu'il admet pour racines $\lambda_1,\ldots,\lambda_k$, de multiplicités respectives $d_1,\ldots,d_k$ : comme le polynôme est de degré $d$, la somme $d_1+\cdots+d_k$ vaut $d$. On peut écrire :

$$P_A(\lambda) = (\lambda_1-\lambda)^{d_1}\cdots(\lambda_k-\lambda)^{d_k}\;.$$

La seconde étape d'une diagonalisation est la détermination des sous-espaces propres associés aux valeurs propres $\lambda_i$. Pour chaque valeur propre $\lambda_i$, on cherche l'ensemble des solutions du système $(A-\lambda_i)V = 0$. On trouve comme ensemble de solutions un sous-espace vectoriel : le sous-espace propre associé à $\lambda_i$. On démontre, et nous admettrons, que sa dimension est nécessairement inférieure ou égale à la multiplicité $d_i$ de la valeur propre.

Théorème 12.3.2   Pour tout $i=1,\ldots,k$, le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_i$ a une dimension inférieure ou égale à la multiplicité de $\lambda_i$ dans le polynôme caractéristique.

La matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si pour tout $i=1,\ldots k$, le sous-espace propre associé à la valeur propre $\lambda_i$ a pour dimension la multiplicité de $\lambda_i$.

Observons que si $\lambda_i$ est valeur propre, il existe nécessairement un vecteur propre non nul associé à $\lambda_i$, par définition. Donc la dimension du sous-espace propre associé à $\lambda_i$ est au moins $1$. Le cas le plus simple est celui des valeurs propres de multiplicité $1$. Dans ce cas la dimension du sous-espace propre est à la fois $\geq 1$ et $\leq 1$ : elle vaut nécessairement $1$. Il suffit alors de trouver un vecteur propre : tous les autres seront proportionnels à celui-ci). On peut pour cela, soit résoudre le système $A-\lambda_i I=0$, soit utiliser la "méthode des cofacteurs", conséquence de la proposition ci-dessous.

Proposition 12.3.3   Soit $\lambda$ une valeur propre de $A$, de multiplicité $1$. Considérons une ligne de $A-\lambda I$, choisie de façon que la matrice formée des autres lignes soit de rang $d\!-\!1$. Le vecteur formé des cofacteurs associés à cette ligne (les $d\!-\!1$ déterminants extraits en barrant la ligne choisie et une colonne, avec alternance de signe) est un vecteur propre de $A$ associé à $\lambda$.

Nous verrons plus loin des exemples d'utilisation de cette méthode, à utiliser surtout en dimensions $2$ et $3$.

Alternance de signes pour le calcul des cofacteurs.

Comme nous l'avons vu, certaines matrices ne sont diagonalisables que dans $\mathbb {C}$, car leur polynôme caractéristique n'est pas scindé dans $\mathbb {R}$. D'autres ont un polynôme caractéristique scindé dans $\mathbb {R}$ mais elles ont des valeurs propres multiples et la dimension des sous-espaces propres n'est pas égale à la multiplicité. A part le cas où toutes les valeurs propres sont distinctes, il existe un cas particulier important de matrice diagonalisable, celui des matrices réelles symétriques. Nous admettrons le théorème suivant.

Théorème 12.3.4   Soit $A=(a_{i,j})_{i,j=1,\ldots,d}$ une matrice symétrique (telle que $a_{i,j}=a_{j,i}\,,\forall i,j=1,\ldots,d$). Toutes les valeurs propres de $A$ sont réelles, $A$ est diagonalisable et on peut choisir comme base de vecteurs propres une base telle que la matrice de passage $P$ vérifie $P^{-1} = {^tP}$ (une telle base est dite orthonormée).

Le fait d'avoir une base orthornormée permet d'écrire l'inverse de la matrice de passage sans calcul supplémentaire (car $P^{-1} = {^tP}$). En revanche, transformer une base de vecteurs propres que l'on a obtenu par la méthode générale en une base orthonormée, requiert un calcul supplémentaire. Pour le calcul par ordinateur, il existe des algorithmes particuliers adaptés aux matrices symétriques.

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