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Vitesse de convergence

Combien faut-il ajouter de termes d'une série pour avoir une bonne approximation de sa somme ? Pour contrôler l'erreur commise en remplaçant la somme globale par une somme partielle, il faut examiner le reste.

Définition 15.5.1   Soit $ \sum
u_n$ une série convergente de somme $ s$, et $ (s_n)$ la suite des sommes partielles. On appelle reste à l'ordre $ n$ la quantité

$\displaystyle r_n = s-s_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k\;.
$

Nous allons donner quelques exemples de séries dont on peut borner le reste. Nous commençons par les séries géométriques. Soit $ r$ tel que $ \vert r\vert<1$. Rappelons que la somme de la série géométrique est :

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1-r}\;.
$

Son reste à l'ordre $ n$ vaut :

$\displaystyle s-s_n = \frac{1}{1-r} - \frac{1-r^{n+1}}{1-r} = \frac{r^{n+1}}{1-r}\;.
$

Le reste tend donc vers 0 à vitesse géométrique, ce qui est assez rapide. Par exemple, pour $ r=2$, le reste à l'ordre $ 20$ vaut $ 9,\!5\,10^{-7}$, le reste à l'ordre $ 100$ vaut $ 8\,10^{-31}$. Examinons maintenant la série exponentielle. Pour borner son reste, considérons les deux suites $ (s_n)$ et $ (s'_n)$ définies par :

$\displaystyle s_n = 1+\cdots+\frac{1}{(n-1)!} + \frac{1}{n!}$   et$\displaystyle \quad
s'_n = 1+\cdots+\frac{1}{(n-1)!} + \frac{2}{n!}\;.
$

La suite $ (s_n)$ est croissante et converge vers $ e$. On vérifie facilement que la suite $ (s'_n)$ est décroissante pour $ n\geq 1$. Les deux suites sont donc adjacentes et convergent vers la même limite $ e$. On a donc :

$\displaystyle r_n = e-s_n\leq s'_n-s_n = \frac{1}{n!}\;.
$

La convergence est donc beaucoup plus rapide que pour une série géométrique. Numériquement, on trouve $ r_{10}=2,\!7\,10^{-8}$, $ r_{20} = 2\,10^{-20}$, $ r_{50} = 6,\!6\,10^{-67}$.

Nous allons maintenant examiner des séries dont la convergence peut être beaucoup plus lente. Commençons par les séries alternées, déjà évoquées au paragraphe précédent.

Proposition 15.5.2   Soit $ (a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, tendant vers 0 à l'infini. Posons $ u_n=(-1)^na_n$. Le reste à l'ordre $ n$ de la série $ \sum
u_n$ est majoré par la valeur absolue du premier terme non sommé :

$\displaystyle \vert r_n\vert \leq a_{n+1}\;.
$

Démonstration : Notons $ s_n=u_0+\cdots+u_n$. Pour tout $ k\in \mathbb {N}$, posons $ \alpha_k = s_{2k}$ et $ \beta_k =
s_{2k+1}$. Nous vérifions que $ (\alpha_k)$ et $ (\beta_k)$ sont deux suites adjacentes. En effet,

$\displaystyle \alpha_{k+1}-\alpha_k = -a_{2k+1}+a_{2k+2}\leq 0$   et$\displaystyle \quad
\beta_{k+1}-\beta_k = a_{2k+2}-a_{2k+3}\geq 0\;.
$

Donc $ (\alpha_k)$ est décroissante, et $ (\beta_k)$ est croissante. De plus $ \alpha_k-\beta_k=a_{2k+1}$ tend vers 0. Les deux suites ont donc la même limite $ s$. Pour tout $ k\in \mathbb {N}$, on aura :

$\displaystyle \beta_k\leq \beta_{k+1}\leq s\leq \alpha_{k+1}\leq \alpha_k\;.
$

Selon que $ n$ est pair ou impair, le reste $ r_n$ peut être borné comme suit.

\begin{displaymath}
\begin{array}{lcl}
\vert r_{2k}\vert&=&\vert s-\alpha_k\vert...
...\beta_k\vert\leq \alpha_{k+1}-\beta_k = a_{2k+2}\;.
\end{array}\end{displaymath}

$ \square$

Pour une série alternée, la vitesse de convergence est donc dictée par la décroissance vers 0 de la suite $ (a_n)$. Celle-ci peut être assez lente. Par exemple, la série $ \sum
\frac{(-1)^n}{n}$ converge. Nous admettrons que sa somme (pour $ n\geq 1$) est $ -\ln(2)$. Numériquement, le reste à l'ordre $ 100$ est $ 5\,10^{-3}$. Examinons maintenant les séries dont la convergence peut être obtenue par comparaison avec une intégrale, grâce au théorème 15.2.3.

Proposition 15.5.3   Soit $ f$ une fonction de $ \mathbb {R}^+$ dans $ \mathbb {R}^+$, décroissante, telle que l'intégrale
$ \int_0^{+\infty} f(t)\,dt$ converge. Soit $ r_n$ le reste à l'ordre $ n$ de la série de terme général $ u_n=f(n)$. On a :

$\displaystyle r_n\leq \int_n^{+\infty}f(t)\,dt\leq r_{n-1}\;.
$

Démonstration :  C'est une conséquence immédiate des inégalités suivantes, que nous avions déjà rencontrées dans la démonstration du théorème 15.2.3.

$\displaystyle u_n \geq \int_n^{n+1} f(t)\,dt\geq u_{n+1}\;.
$

$ \square$

Dans ce cas, la vitesse de convergence de la série est essentiellement celle à laquelle l'intégrale de la fonction sur $ [n,+\infty[$ tend vers 0. Pour les séries de Riemann $ \sum n^{-\alpha}$ avec $ \alpha>1$, l'intégrale se calcule explicitement. On trouve :

$\displaystyle r_n\leq \frac {1}{\alpha-1}n^{-\alpha+1}\leq r_{n-1}\;.
$

Si $ \alpha$ est assez proche de $ 1$, la convergence peut donc être extrêmement lente. Par exemple, la série $ \sum \frac{1}{n^2}$ converge. Nous admettrons que sa somme (pour $ n\geq 1$) est $ \frac{\pi^2}{6}$. Numériquement, le reste à l'ordre $ 100$ est proche de $ 10^{-2}$.



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