Chapitre : Calcul des intégrales
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Propriétés des intégrales

Toutes les fonctions considérées sont supposées continues sur leur intervalle d'intégration, et sont donc intégrables. Nous commençons par résumer les principales propriétés des intégrales, nous les commenterons ensuite.

Théorème 13.2.1    
  1. Relation de Chasles :

    $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx +\int_b^c f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx\;.
$

  2. Linéarité :

    $\displaystyle \int_a^b (\lambda f(x)+\mu g(x))\,dx =
\lambda \int_a^bf(x)\,dx + \mu\int_a^b g(x)\,dx\;.
$

  3. Monotonie :

       Si $\displaystyle \forall x\in [a,b]\,,\; f(x)\leq g(x)$    alors $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx \leq \int_a^b g(x)\,dx\;.
$

La relation de Chasles permet d'étendre la définition de l'intégrale au cas où la fonction $ f$ n'est continue que par morceaux sur l'intervalle d'intégration. On intègre séparément chacun des morceaux et on ajoute ensuite les intégrales obtenues. Considérons par exemple la fonction $ f$ qui vaut $ x$ si $ x\in [0,1]$ et $ \frac{1}{2}$ si $ x\in ]1,2]$.




Son intégrale sur l'intervalle $ [0,2]$ vaut :

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 x\,dx +\int_1^2\frac{1}{2}\,dx =
\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\;.
$

A propos de cet exemple, il est conseillé de ne pas perdre de vue l'interprétation géométrique d'une intégrale : l'intégrale d'une fonction constante est la surface d'un rectangle, l'intégrale d'une fonction affine (du type $ x\mapsto \alpha x+\beta$) est la surface d'un triangle si la fonction s'annule sur l'une des deux bornes, la surface d'un trapèze dans le cas général.

La relation de Chasles reste vraie même si les bornes des intervalles d'intégration ne sont pas dans le bon ordre, ce qui peut arriver après un changement de variable. On convient de changer le signe de l'intégrale quand on échange les bornes. Cette convention est cohérente avec le fait que l'intégrale sur un intervalle de longueur nulle vaut nécessairement 0.

$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx +\int_b^a f(x)\,dx =\int_a^a f(x)\,dx = 0\;.
$

La propriété 2 du théorème (linéarité), dit que l'intégrale est une application linéaire de l'espace vectoriel des fonctions intégrables dans $ \mathbb {R}$. On l'utilisera souvent, soit pour mettre en facteur une constante devant l'intégrale, soit pour séparer le calcul en deux intégrales plus simples. Par exemple :

$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2(x)\,dx =
\int_0^{\frac{\pi}{4}} \f...
...frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x)\,dx
= \frac{\pi}{8} +\frac{1}{4}\;.
$

On peut utiliser la monotonie pour vérifier certains calculs. Par exemple si une fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, son intégrale doit être positive. L'intégrale d'une fonction positive et non identiquement nulle est même strictement positive : on utilise souvent ce résultat sous la forme suivante.

Proposition 13.2.2   Soit $ f$ une fonction continue sur $ [a,b]$. Si l'intégrale de $ \vert f\vert$ sur $ [a,b]$ est nulle, alors $ f$ est constamment nulle.

$\displaystyle \int_a^b \vert f(x)\vert\,dx =0 \Longrightarrow f(x)=0\,,\;\forall x\in[a,b]\;.
$

On peut en déduire l'inégalité suivante, dite inégalité de Schwarz (ou Cauchy-Schwarz).

Théorème 13.2.3   Soient $ f$ et $ g$ deux fonctions continues sur l'intervalle $ [a,b]$. L'inégalité suivante est vérifiée :

$\displaystyle \left(\int_{a}^{b}f(x).g(x)\,dx\right)^2\leq
\left(\int_{a}^{b}f^2(x)\,dx\right)\left(\int_{a}^{b}g^2(x)\,dx\right)\;.
$

L'égalité ayant lieu si et seulement si les deux fonctions $ f$ et $ g$ sont proportionnelles.

Démonstration :  Nous donnons cette démonstration, car elle fait intervenir non seulement la propriété précédente mais aussi la linéarité des intégrales. Etant donné un réel $ \lambda$ quelconque, considérons l'intégrale de la fonction $ (\lambda f + g)^2$ :

$\displaystyle \int_a^b (\lambda f+g)^2\,dx =
\lambda^2\int_a^b f^2(x)\,dx + 2\lambda \int_a^b f(x)g(x)\,dx
+\int_a^b g^2(x)\,dx\;.
$

Puisque la fonction $ (\lambda f + g)^2$ est positive, son intégrale est également positive, et ce pour tout $ \lambda$. Le trinôme en $ \lambda$ de la formule précédente ne peut donc pas avoir 2 racines réelles distinctes (car sinon il prendrait des valeurs strictement négatives entre les deux). Le discriminant de ce trinôme est donc négatif ou nul, soit :

$\displaystyle \int_a^b f(x)g(x)\,dx -\left(\int_a^b f^2(x)\,dx\right)
\left(\int_a^b g^2(x)\,dx\right)
\leq 0\;.
$

Ceci fournit l'inégalité souhaitée. Si le discriminant est nul, le trinôme admet une racine double, c'est à dire qu'il existe une valeur de $ \lambda$ pour laquelle l'intégrale de $ (\lambda f + g)^2$ est nulle. Or d'après la proposition précédente, ceci entraîne que la fonction $ (\lambda f + g)^2$ est constamment nulle, donc pour tout $ x$, $ g(x)=-\lambda f(x)$. $ \square$

Toujours en utilisant la monotonie, la valeur de l'intégrale peut être encadrée à l'aide du minimum et du maximum de $ f$ sur l'intervalle $ [a,b]$ :

$\displaystyle (b-a)\inf_{x\in[a,b]}f(x) \leq \int_a^b f(x)\,dx
\leq (b-a)\sup_{x\in[a,b]}f(x) \;.
$

Si on divise ces inégalités par la longueur de l'intervalle, on obtient :

$\displaystyle \inf_{x\in[a,b]}f(x) \leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx
\leq \sup_{x\in[a,b]}f(x) \;.
$

Il faut comprendre $ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$ comme la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle. Le théorème de la moyenne dit que cette valeur moyenne est atteinte sur l'intervalle.

Théorème 13.2.4   Si $ f$ est continue sur $ [a,b]$, il existe $ c\in [a,b]$ tel que :

$\displaystyle \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\;.
$



Illustration du théorème de la moyenne.




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