Chapitre : Calcul des intégrales
Précédent : Calcul des intégrales
Suivant : Propriétés des intégrales

Sommes de Riemann

Il n'est pas question de faire ici une théorie de l'intégrale de Riemann. Notre but, en introduisant les sommes de Riemann, est d'abord d'aider à la compréhension intuitive d'une intégrale comme surface calculée en sommant de ``petits éléments géométriques''. Un autre objectif est le calcul de limites : on rencontre souvent dans les applications des limites de sommes que l'on ramène à des calculs d'intégrales en les exprimant comme sommes de Riemann. Les sommes de Riemann peuvent donc être vues comme un outil de calcul de limites.

Dans ce chapitre, tous les intervalles d'intégration sont fermés et bornés, et les fonctions à intégrer sont continues sur l'intervalle d'intégration.

Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$, et $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$, la notation

$$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

désigne l'aire de la portion du plan limitée par le graphe de $f$, par l'axe des $x$ et les deux droites verticales $x=a$ et $x=b$ avec la convention que les aires sont négatives pour la partie du plan située au dessous de l'axe des $x$.

Intégrale d'une fonction f sur un intervalle fermé borné.

Les sommes de Riemann sont un des moyens de donner une définition rigoureuse de l'intégrale sur un intervalle. La définition d'une somme de Riemann passe par une subdivision de l'intervalle d'intégration.

Définition 13.1.1   On appelle subdivision $\Delta$ de l'intervalle $[a,b]$ un ensemble fini de $n+1$ réels, $x_0,x_1,\ldots,x_n$, tels que :

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b\;.$$

Le pas de la subdivision $\Delta$, noté $h(\Delta)$ est défini par :

$$h(\Delta) = \max\{ \,x_1-x_0,x_2-x_1,\ldots,x_n-x_{n-1}\,\} = \max_{i=1,\ldots,n} (x_i-x_{i-1})\;.$$

Une subdivision est donc un découpage, une partition, de l'intervalle d'intégration en sous-intervalles. L'idée pour approcher l'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ est de remplacer $f$ par une fonction en escaliers, constante sur chaque intervalle de la subdivision. L'intégrale d'une fonction en escaliers est une somme de surfaces de rectangles que l'on appelle somme de Riemann associée à $f$.

Définition 13.1.2   Soit $\Delta=\{x_0,\ldots,x_n\}$ une subdivision de l'intervalle $[a,b]$. Pour tout $i=1,\ldots,n$, choisissons un point $\xi_i$ dans l'intervalle $[x_{i-1},x_i]$. La somme

$$S = \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\,f(\xi_i)\;,$$

est appelée somme de Riemann associée à $f$.

Somme de Riemann associée à une fonction.

Parmi les sommes de Riemann correspondant à une subdivision donnée, deux jouent un rôle particulier, ce sont les sommes de Darboux, qui encadrent toutes les autres.

Définition 13.1.3   Soit $\Delta=\{x_0,\ldots,x_n\}$ une subdivision de l'intervalle $[a,b]$. On appelle sommes de Darboux associées à $\Delta$ les deux sommes de Riemann définies par :

$$S_m(\Delta) = \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\, \inf_{\xi\in[x_{i-1},x_i]}f(\xi)\;,$$

et

$$S_M(\Delta) = \sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})\, \sup_{\xi\in[x_{i-1},x_i]}f(\xi)\;,$$

Rappelons qu'une fonction continue atteint son maximum et son minimum sur un intervalle fermé borné. La somme $S_m(\Delta)$ est la somme de Riemann obtenue en choisissant dans chaque intervalle de la subdivision, un point qui minimise $f$ sur cet intervalle. Pour la somme $S_M(\Delta)$, on choisit sur chaque intervalle un point qui maximise $f$. Si $S$ est une autre somme de Riemann, correspondant à la même subdivision $\Delta$, on aura évidemment :

$$S_m(\Delta)\leq S\leq S_M(\Delta)\;.$$

En particulier, $S_m(\Delta)$ et $S_M(\Delta)$ fournissent un encadrement de l'intégrale :

$$S_m(\Delta)\leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_M(\Delta)\;.$$

Dans le cas particulier où la fonction est croissante, elle atteint son minimum à gauche de l'intervalle, et son maximum à droite. On a alors :

$$S_m(\Delta)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(x_{i-1})\leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_M(\Delta)=\sum_{i=1}^n(x_i-x_{i-1})f(x_i)\;.$$

Les sommes de Riemann fournissent une approximation d'autant meilleure de l'intégrale de $f$ sur $[a,b]$ que le pas de la subdivision est petit. Nous admettrons le théorème suivant, qui justifie la définition de l'intégrale comme limite de sommes de Riemann.

Théorème 13.1.4   Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$, alors :

$$\lim_{h(\Delta)\rightarrow 0} S_m(f,\Delta) = \lim_{h(\Delta)\rightarrow 0} S_M(f,\Delta) =\int_a^b f(x)\,dx\;.$$

En pratique, on ne rencontre guère que des subdivisions à pas constant, c'est à dire que les $n$ sous-intervalles ont tous la même largeur $h=(b-a)/n$. Dans ce cas, les $n+1$ points sont donc :

$$a,a+\frac{1}{n}(b-a),a+\frac{2}{n}(b-a),\ldots, a+\frac{n-1}{n}(b-a), a+\frac{n}{n}(b-a)=b\;.$$

Les $n$ valeurs $f(\xi_i)$ sont elles aussi régulièrement espacées en général, et ce sont même le plus souvent des valeurs à l'une des deux bornes de chaque intervalle.

$$\xi_i = a+\frac{i-u}{n}(b-a)\;,$$

avec $0\leq u\leq 1$. Les sommes de Riemann se présentent donc le plus souvent sous la forme suivante :

$$S_n(f)= \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f\left(a+ \frac{i-u}{n}(b-a)\right)\;.$$

Leur limite est l'intégrale de la fonction $f$ entre $a$ et $b$.

$$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^n f\left(a+ \frac{i-u}{n}(b-a)\right) = \int_a^b f(x)\,dx\;.$$

Voici un premier exemple. Soit $k$ un entier strictement supérieur à 1, considérons la somme :

$$\displaystyle{S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{nk}}$$

On peut écrire :

$$\displaystyle{S_n=\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n}} + \frac{1}{1+\frac{2}{n}} + \ldots + \frac{1}{1+\frac{n(k-1)}{n}}\right)}$$

C'est une somme de Riemann associée à la fonction : $${x\rightarrow \frac{1}{1+x}}$$. Sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, existe et est égale à :

$$\int_0^{k-1}\frac{1}{1+x}\,dx = \Big[\ln(1+x)\Big]_0^{k-1}=\ln k\;.$$

Voici un deuxième exemple. Considérons la somme :

$$S_n = \frac{1}{n^2}\left(\sqrt{1.(n-1)} + \sqrt{2.(n-2)} + \ldots + \sqrt{(n-1).1}\right)$$

qui peut s'écrire :

$$S_n = \frac{1}{n}\left(\sqrt{\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{n}\right... ...}{n}\right)} + \ldots + \sqrt{\left(1-\frac{1}{n}\right)\frac{1}{n}}\right)\;.$$

C'est une somme de Riemann associée à la fonction : $${x\rightarrow \sqrt{x(1-x)}}$$. Sa limite, lorsque $n$ tend vers $+\infty$, existe et est égale à : $${\int_{0}^{1}\sqrt{x(1-x)}\, dx}$$. Or, le graphe de cette fonction est un demi-cercle de rayon $${\frac{1}{2}}$$. La limite est donc égale à la surface du demi-cercle, soit $${\frac{\pi}{8}}$$.
Chapitre : Calcul des intégrales
Précédent : Calcul des intégrales
Suivant : Propriétés des intégrales