Transport optimal, méthodes level set, applications à l'image (3 ECTS, E, Maitre)

(Multi-echelles)

Introduction :
Le transport optimal est une problématique dans laquelle on s'intéresse à déterminer comment déplacer une répartion de masse (densité) vers une autre, tout en minimisant une énergie donnée. Originellement introduite par Monge pour des applications dans la construction, elle a été beaucoup étudiée ces dernières années sous l'angle probabiliste et pour ses rapports à la mécanique des fluides, notamment par C. Villani (ENS Lyon) et Y. Brenier (CNRS, U. Nice).
La méthode level-set, outre ses applications en ségmentation d'image,  permet de formuler de manière complétement eulérienne des problèmes de couplage entre un fluide et des structures élastiques immergées. Cette formulation est particulièrement pertinente dans les applications biomédicales (modélisation d'une cellule, d'un cardiomyocyte, ...) et fait l'objet de recherches au Laboratoire Jean Kuntzmann (cf publications Cottet, Maitre dans la base bibliographique du laboratoire sur le site web ljk.imag.fr).
L'utilisation des de ces deux outils pour l'analyse d'image est un thème que nous envisageons de développer au LJK et ce cours est en particulier proposé pour former un éventuel futur doctorant dans l'équipe Equations aux Dérivées Partielles, et plus généralement à destination de toute personne intéressée par ces techniques.
L'enjeu est d'ajouter un "sens" aux images en leur accrochant des modèles EDP et ainsi de répondre à des problématiques du type : trouver une image intermédiaire entre deux images, continuer une séquence d'images, ...

Programme :
1) Introduction aux problématiques de transport optimal
2) Liens avec la modélisation eulérienne de problèmes de mécanique des milieux continus : level-set, champ de phase.
3) Problématiques liées aux images sémantiquement augmentées par modèles EDP. Flot optique.
4) Aspects numériques : outils et algorithmes.

Pré-requis :
Quelques connaissances en calcul différentiel, EDP, méthodes numériques.
L'évaluation se fera au moins en partie sur la base d'un exposé scientifique lié à la lecture d'un article en rapport avec la thématique.

Références :
C. Villani, Topics in Optimal Transportation, AMS (2003)
Y. Brenier, divers articles disponibles sur Google Scholar et HAL.
S. Osher et R. Fedkiw, Levet set methods and dynamic implicit surfaces





Syllabus:
Optimal transportation problems are interested in determining how to move a distributed mass (density) to another, while minimizing a given energy. Originally introduced by Monge for applications in construction, it has been studied extensively in recent years in probabilistic settings, and for its relationship to fluid mechanics, e.g. by C. Villani (ENS Lyon) and Y. Brenier (CNRS, U. Nice).
The level-set method, besides its applications in image segmentation, allows to rephrase fluid-structure coupling models in a Eulerian setting. This formulation is particularly relevant in biomedical applications (modelling of a cell, a cardiomyocyte, ...) and is the subject of research at the Laboratoire Jean Kuntzmann (see publications Cottet, Maitre in the bibliographic database of the laboratory website ljk.imag.fr).
Conjoint use of these tools for image analysis is a topic we plan to develop in LJK and this lecture is partly proposed to form a possible future doctoral student in the team Partial Differential Equations, and more generally intended for anyone interested in these techniques.
The challenge is to add a "meaning" to pictures by combining it with PDE models and to address issues such as: find an intermediate image between two images, extrapolating a sequence of images ...

Scheduling:
1) Introduction to problems of optimal transportation
2) Links with Eulerian modeling of problems in continuum mechanics: level-set, phase field.
3) Issues related to images semantically enhanced by PDE models. Optical flow.
4) Numerical aspects: tools and algorithms.

Prerequisites:
Some knowledge of calculus, PDE, numerical methods.
The evaluation will be at least partly on the basis of a scientific presentation related to an article related to the theme.

References:
C. Villani, Topics in Optimal Transportation, AMS (2003)
Y. Brenier, various articles available on Google Scholar and HAL.
S. Osher and R. Fedkiw, Levet set methods and dynamic implicit surfaces