Systèmes dynamiques, bifurcations et applications (6 ECTS, A. Girard et G. James)

(Calculs alternatifs et Multiechelles)

Rappels sur l'étude qualitative des équations différentielles : (3 h)

Nous rappellerons différents concepts et résultats fondamentaux pour l'étude qualitative des équations différentielles linéaires et non linéaires (stabilité
des points d'équilibre, théorème des fonctions implicites, variétés stable et instable, théorème de Hartman-Grobman).


Systèmes dynamiques, bifurcations et applications : (24 h)

Ce cours aborde des notions fondamentales pour l'étude des systèmes dynamiques non linéaires, notamment les phénomènes de bifurcations
(changement qualitatif de l'ensemble des solutions lorsqu'on fait varier des paramètres du système) et d'instabilités. Nous exposerons des méthodes générales pour l'étude locale de modèles non linéaires (réduction de Lyapunov-Schmidt, variétés centrales, formes normales,...). Ces outils seront appliqués à différents contextes physiques mettant en jeu des phénomènes non linéaires (oscillations des ailes d'avions, instabilités liées au frottement, propagation de solitons à
l'interface entre deux fluides,...).
Nous aborderons aussi les systèmes hybrides qui couplent des dynamiques discrète et continue, et interviennent dans nombre d'applications comme les systèmes embarqués, la robotique ou la biologie. Nous étudierons en particulier la stabilité globale de tels systèmes pour des non-linearités affines par morceaux. Nous nous intéresserons également à la stabilisation de systèmes dynamiques à travers differentes applications (contrôle de satellites reliés par câble, planification de trajectoire d'un robot).