Calcul des propriétés différentielles des courbes et des surfaces :
point de vue de la mesure (3 ECTS, B. Thibert)

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Ce cours se place dans le cadre général de la géométrie effective,
hérité de l'analyse récursive, pour le calcul sur des objets
géométriques appartenant à des ensembles non dénombrables.  Par
définition, les ensembles non dénombrables ne sont pas "représentables"
exactement en machine. Le principe général de la géométrie effective est
donc le suivant :
1) on se donne des représentations finies (représentables en machine)
qui définissent un sous-ensemble  dense;
2) on montre la continuité (propriétés de convergence ou de stabilité)
des "quantités" calculées si possible en quantifiant un module de
continuité.
Les quantités sur les objets limites peuvent alors être approchées par
leur valeurs sur des approximations finies. Cette approche exige de
placer  les représentations finies et leurs limites dans un même cadre
mathématique.

Dans le cadre du calcul géométrique et plus généralement des
technologies liées à la modélisation géométrique et la simulation, au
delà de la visualisation et du "computer graphic", les représentations
finies sont souvent des surfaces triangulées ou des nuages de points (à
coordonnées rationnelles)  et les objets limites sont des objets lisses
ou lisses par morceaux, tels que les courbes et les surfaces "classiques".
Les notions différentielles usuelles, telles que la longueur, l'aire,
les normales, la tangence et la courbure doivent pouvoir être
généralisées pour être définies et évaluées sur les représentations
finies que sont les courbes polygonales et les surfaces triangulées
voire sur des nuages de points. Pour le cas de la courbure notamment, a
coté des techniques plus ou moins heuristiques qui consistent à mesurer
la courbure d'une surface lisse "proche" on explore ici plutôt le point
de vue de la mesure qui permet de plonger les surfaces triangulées et
leurs limites lisses dans un même cadre permettant une définition
uniforme des notions différentielles, plus en phase avec les points de
vue du calcul et de la mesure de quantités physiques.
On indiquera tout au long de ce cours des algorithmes réalistes,
utilisés en pratique et associés aux notions introduites.

* Plan du cours
1) Rappels de géométrie différentielle classique
2) Historique : vers les objets non lisses
3) Introduction aux courants : une généralisation des courbes et des
surfaces
4) Le cycle normal : définition des courbures
5) Le cycle normal : convergence des courbures


* Prérequis souhaités : notions d'analyse fonctionnelle et de géométrie différentielle