Problèmes inverses (3 ECTS, E. Blayo)

(Multiéchelles)


La prévision météorologique ou océanographique, l'identification de paramètres optimaux dans la forme d'une aile d'avion, 
l'imagerie médicale, et plus généralement la détermination de paramètres inconnus dans un système modélisé et observé
sont des problèmes inverses. Un problème inverse particulier, l'assimilation de données, vise à combiner l'information mathématique
contenue dans les équation du système (par exemple l'atsmosphère, l'océan, une calotte polaire, un champ de blé, le cerveau humain, etc.)
et l'information physique fournie par les observations (par exemple la température observée par un ballon sonde, la salinité mesurée par
un navire océanographique, les données d'irrigation et de productivité du champ de blé, la hauteur de glace de la calotte polaire) afin de fournir
des prévisions de l'état du système dans le futur.

Dans ce cours, nous étudions des méthodes permettant d’appréhender les problèmes inverses.
Les formulations mathématiques, les algorithmes et leurs implémentations y sont développés.

La première partie est basée sur la méthode de contrôle optimal de systèmes gouvernés par des EDP, appelée encore méthode adjointe.

Dans la seconde partie, on étudie l’approche d’estimation statistique linéaire conduisant sur le filtrage de Kalman et ses différentes variantes.

Ces méthodes d’assimilation de données sont illustrées par des exemples de fluides géophysiques (météorologie, hydraulique fluviale,
océanographie, glaciologie).

Contenu :
Introduction
A) Approche variationnelle
-- Rappels d'optimisation
-- Méthode adjointe
-- Mise en oeuvre de la méthdoe adjointe en pratique
-- Algorithmes d'assimilation de données variationnelle
-- Compléments
B) Approche filtrage
-- Estimation statistique linéaire, BLUE
-- Equivalence avec l’approche variationnelle
-- Filtrage de Kalman, filtrage étendu
-- Filtres d’ensemble et filtres de rang réduit

Forme d’examen : Examen écrit + TP avec code de calcul et compte-rendu

Prérequis : Calcul différentiel, méthodes numériques, EDP