Méthodes mathématiques pour les ondes : applications aux problèmes inverses et
à l'imagerie médicale (6 ECTS, E. Bonnetier et F. Triki)

(Multiéchelles)

Dans ce cours on s'interesse a la propagation des ondes electromagnetiques, decrites en regime harmonique
par le systeme de Maxwell, et en presence de certaines symetries, par l'equation de Helmholtz :
                                                 \Delta u + k^2(x) u = f

Cette equation ressemble a une equation de conduction, mais elle n'est pas elliptique. De plus, le domaine
dans lequel on cherche le champ u est en general non borne. Les techniques de type Lax-Milgram ne
s'appliquent pas directement, pour etablir l'existence d'une solution.
Dans une premiere partie du cours, on s'interesse aux outils mathematiques permettant de construire des
solutions a ce type d'equations :
- Quelques rappels d'analyse fonctionnelle
- Proprietes des operateurs integraux
- Operateurs de simple couche et double couche en dimension 2 et 3
- Application \`a l'equation de Helmholtz : conditions de radiation, espaces \`a poids
- Le syst\`eme de Maxwell : modelisation physique, etude mathematique

Dans une deuxieme partie, on s'interesse aux problemes inverses de type tomographie d'impedance,
Magnetic Resonance Imaging,..., qui visent \`a determiner la nature d'un milieu, a partir de la maniere
dont la propagation des ondes electromagnetiques sont affectees par ce milieu :
- modelisation de differents types d'imagerie
- detection de defauts localises : asymptotiques petit volume
- application a la tomographie d'impedance