Couplages et volumes finis (6 ECTS, E. Blayo, L. Debreu)

(Multiéchelles)


L’objectif de ce cours est de donner un aperçu des méthodes de résolution numérique de type volumes finis pour les lois de conservation, ainsi que des méthodes permettant le couplage de modèles d'EDP (phénomènes multi-échelles et/ou multi-physiques, comme par exemple en mécanique des fluides).

Partie "couplage"
- Introduction : interactions d’échelles, phénomènes couplés
- Méthodes de couplage : méthodes de Schwarz, conditions d’interface optimisées, éléments-joints
- Introduction aux méthodes multigrilles

Partie "volumes finis"
-Rappels sur l'étude des propriétés des schémas numériques (précision, stabilité ...)
- Construction de schémas numériques efficaces (type volumes finis) pour le traitement des équations
et systèmes hyperboliques (illustration sur 3 exemples : équation d'advection, équation simulant l'évolution
d'un trafic routier, modèle en eau peu profonde simulant une rupture de barrage)




Prérequis : Méthodes numériques de résolution des EDP (différences finies, éléments-finis), algèbre linéaire de base


Bibliographie  :

- Valli A. and A. Quarteroni, 1999 : Domain decomposition methods for PDEs Oxford University Press

- Toselli A. and O. Widlund, 2005 : Domain decomposition methods-algorithms and theory. Springer Series in Computational Mathematics,
34, Springer.

- Trottenberg U., C.W. Oosterlee and A. Schuller, 2000 : Multigrid. Academic Press







The aim of this course is to provide an overview of finite volume methods for the numerical solution of conservation laws, as well as methods for the solution of coupled problems (multiscale and/or multiphysics phenomena, as encountered for example in fluid mechanics).

Part 1: "Coupling"
Introduction : interactions of different scales, coupled phenomena
Coupling methods : Schwarz methods, optimized interface conditions, Mortar elements
Introduction to multigrid methods

Part 2: finite volume methods
- Generalities on properties of numerical schemes (stability, accuracy...)
- Derivation of efficient numerical schemes (finite volume schemes) for hyperbolic equations, with illustration on 3 examples (advection equation, equation simulating car traffic, shallow water equation for simulating a dam break)

Prerequisites: Introductory courses on numerical resolution of PDE's (finite differences, finite elements),
basic linear algebra.

Bibliography:
- Valli A. and A. Quarteroni, 1999 : Domain decomposition methods for PDEs Oxford University Press

- Toselli A. and O. Widlund, 2005 : Domain decomposition methods -algorithms and theory. Springer Series in Computational Mathematics, 34, Springer.
- Trottenberg U., C.W. Oosterlee and A. Schuller, 2000 : Multigrid. Academic Press