Contrôlabilité et observabilité des systèmes linéaires (3 ECTS, Christophe PRIEUR)

Résumé :
Etant donné un système dynamique dépendant d'un paramètre (appelé contrôle) et une condition initiale, la théorie
du contrôle s'intéresse à la possibilité de calculer un contrôle pour que la solution converge vers un état final désiré.
On parle alors de contrôlabilité (en temps fini ou infini). Par ailleurs Etant donnée une observation de la dynamique
(c'est-à-dire une fonction de la solution), l'observabilité est la possibilité d'estimer la solution du système dynamique
en fonction de l'observation uniquement. Les propriétés de contrôlabilité et d'observabilité sont duales. Nous nous
restreindons aux systèmes décrits par des dynamiques linéaires, c'est-à-dire par des équations aux dérivéees
ordinaires (EDO) linéaires ou par des équations aux dérivéees partielles (EDP) linéaires. Nous débuterons ce cours
par une étude sur les EDO. Nous étudierons ensuite la généralisation des concepts de contrôlabilité et d'observabilité
pour les EDP. Ensuite nous nous focaliserons sur quelques EDP classiques (comme l'équation de transport ou
l'équation de la chaleur), et nous privilégierons les méthodes constructives pour le calcul des contrôles. Nous finirons
ce cours par introduire la notion de stabilisation, c'est-à-dire à la possibilité de calculer un contrôle qui rende le système
asymptotiquement stable, en particulier tel que toutes les solutions tendent vers l'origine. Nous indiquerons des
techniques pour calculer des contrôles stabilisants pour quelques EDP (en particulier la théorie de Lyapunov).

Plan indicatif :
A) Contrôlabilité et observabilité des systèmes de dimension finie
- notion et définition de contrôlabilité. Conditions nécessaires et suffisantes (CNS) pour la contrôlabilité
- notion et définition d'observabilité. CNS pour l'observabilité
- dualité observabilité-contrôlabilité
B) Quelques rappels sur la théorie des semi-groupes
- semi-groupes fortement continus
- semi-groupes de contraction
C) Contrôlabilité et observabilité des EDP
- définitions de contrôle et d'observation admissibles
- définitions de contrôlabilité exacte ou approchée
- définitions analogues pour l'observabilité. Dualité
- CNS pour la contrôlabilité et l'observabilité
- méthode HUM (Hilbert Uniqueness Method)
D) Etude de quelques EDP particulières
- équation de transport
- équation de la chaleur
E) Stabilisation
- rappel des notions de stabilité, attractivité et de fonction de Lyapunov
- stabilisation des systèmes de dimension finie
- généralisation pour les EDP. Exemples

Prérequis : Calcul différentiel, EDP linéaires

Ce cours utilisera certains concepts du cours "Systèmes dynamiques, bifurcations et applications" du M2,
ou du cours "Systèmes dynamiques" du M1 (sans qu'il soit indispensable de les avoir suivi).

Bibligraphie préliminaire :
- Jean-Michel Coron, Control and nonlinearity, Mathematical Surveys and Monographs, 136, 2007.
- Marius Tucsnak et George Weiss, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhäuser, 2009.
- A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag,
New York, 1983.
- Z.-H. Luo, B.-Z. Guo, et O. Morgul, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications,
Communications and Control Engineering, Springer-Verlag, London, 1999.
- R. F. Curtain et H. Zwart, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory, vol. 21 of Texts in Applied
Mathematics, Springer- Verlag, New York, 1995.



Controllability and observability of linear systems (3 ECTS, Christophe PRIEUR)
Abstract:
Given a dynamical system which depends on a parameter (named control) and an initial condition, the control theory
studies the computation of a control law such that the solution tends to a desired final state. This is the so-called
controllabality property (in finite or infinite time). Moreover given an observation of the dynamics, the observability
property is the estimation of the solution in function of the observation only. The controllability and observability
properties are dual. We will restrict to linear dynamical systems as those described by linear ordinary differential
equations (ODE) or by linear partial differential equations (PDE). We will start this course by a study on ODE. Then we
will generalize the notions of controllability and observability to the PDE. Then we will study some usual PDE (such
as the transport equation and the heat equation), and we will emphasize the effective methods for the compution
of the control. We will conclude this course by introducing the notion of stabilization. This is the computation of a
control law wich renders the system asymptotically stable. We will give some tools to compute stabilizing controllers
for PDE (such as the Lyapunov theory).

Tentative outine:
A) Controllability and observability of finite dimensional systems
- controllability definition. Necessary and sufficient conditions (NSC) for the controllability
- observability definition. NSC for the observability
- duality controllability-observability
B) Some recalls on semigroup theory
- strongly continuous semigroups
- semigroups of contractions
C) Controllability and observability of PDE
- admissible control
- admissible observation. Duality
- NCS for the controllability and the observability
- Hilbert Uniqueness Method (HUM)
D) Study of some particular PDE
- transport equation
- heat equation
E) Stabilization
- recalls of the definition of the stability, attractivity, and Lyapunov function
- stabilization of finite dimensional systems
- generalization for the PDE. Examples


Preliminar bibligraphy:
- Jean-Michel Coron, Control and nonlinearity, Mathematical Surveys and Monographs, 136, 2007.
- Marius Tucsnak and George Weiss, Observation and Control for Operator Semigroups, Birkhäuser, 2009.
- A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag,
New York, 1983.
- Z.-H. Luo, B.-Z. Guo, and O. Morgul, Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications,
Communications and Control Engineering, Springer-Verlag, London, 1999.
- R. F. Curtain and H. Zwart, An Introduction to Infinite-Dimensional Linear Systems Theory, vol. 21 of Texts in Applied
Mathematics, Springer- Verlag, New York, 1995.